לדלג לתוכן

הטלה (מתמטיקה)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

הטלה (באנגלית: Projection) באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית היא העתקה ליניארית ממרחב וקטורי לעצמו המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים. תוצר ההטלה, קרי הווקטור שבתת-המרחב הליניארי המוגדר, יקרא ההיטל.

דוגמה

נסתכל בווקטור ב-3 אותו אפשר לרשום בצורה v=(vx,vy,vz)=vxx^+vyy^+vzz^ הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור x^ תחזיר Pxv=vxx^. הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: Px2v=Px(vxx^)=vxx^.

אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל Pyzv=vyy^+vzz^. הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x.

הגדרה

יהי V מרחב וקטורי ותהי P:VV העתקה ליניארית. P תיקרא הטלה על תת-מרחב של V, אם P2=P. כלומר, אם נפעיל את P פעמיים על וקטור במרחב, נקבל תוצאה זהה כפי שנקבל לו היינו מפעילים את P על אותו וקטור פעם אחת בלבד. באופן כללי באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית המקיימת תכונה זו נקראת פונקציה אידמפטונטית (Idempotent).

באופן שקול, אם נחלק את V לסכום ישר של תת-מרחבים, V=UW, אזי לכל וקטור vV קיימים uU ו-wW כך שמתקיים v=u+w. נאמר שההעתקה הליניארית E:VV היא הטלה על W אם היא מקיימת E(v)=w.

ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר.

מטריצת ההטלה

  • מטריצה ריבועית P תיקרא מטריצת ההטלה האורתוגונלית אם היא מקיימת P2=P=PT כאשר P מטריצה ממשית, או אם היא מקיימת P2=P=P* כאשר P מטריצה מרוכבת.
  • הערכים העצמיים של מטריצת הטלה הם 0 או 1

תכונות

יהי V מרחב וקטורי עם הטלות E1,E2,,Ek על התת-המרחבים W1,W2,,Wk בהתאמה אזי לכל 1ik מתקיים:

  1. Ei2=Ei
  2. EiEj=0 לכל ij
  3. ImEi=Wi
  4. V=KerEiImEi
  5. Ei ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0.
  6. תהי T:VV העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים Wi הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם TEi=EiT (בהתאמה לתת-המרחב)

שימושים

בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים).

בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הטלה (מתמטיקה)41305662Q519967