אלומה גאוסיאנית

באופטיקה, קרן גאוסיאנית היא קרן של קרינה אלקטרומגנטית בה משרעת (אמפליטודה) השדה החשמלי ועוצמתו (ערך מוחלט של המשרעת בריבוע) מתפרשים על המרחב לפי התפלגות גאוס.

פרופיל של קרן גאוסיאנית: למעלה - מבט מכיוון התקדמות הקרן, למטה - מבט על פרופיל הקרן

תמונה של קרן לייזר בהספק של 5 mw בשדה רחוק. ניתן לראות בה את המוד השולט TEM00 שמתואר על ידי קרן גאוסיאנית.

מכשירי לייזר רבים פולטים קרניים גאוסיאניות, ובמקרה זה אומרים שהלייזר במוד הרוחבי הבסיסי "TEM₀₀ mode" של המהוד האופטי. כאשר קרן גאוסיאנית נשברת בעדשה, הקרן הגאוסיאנית נשברת לקרן גאוסיאנית אחרת (השונה בערכי הפרמטרים המאפיינים אותה מהקרן הנכנסת). תכונה זו הופכת את הקרן הגאוסיאנית לשימושית במיוחד, הן בניסויים והן בפיתוח מודלים תאורטיים עבור אופטיקה של לייזרים.

הפונקציה המתמטית שמתארת קרן גאוסיאנית היא פתרון לקירוב הפרקסיאלי (קירוב זוויות קטנות, בו בדרך כלל $\theta \approx \sin \theta \approx \tan \theta$) של משוואת הלמהולץ. הפתרון הוא גאוסיאן (הפונקציה המתארת את התפלגות גאוס), המייצג את המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי, שמתקדם ביחד עם השדה המגנטי המתאים, כגל אלקטרומגנטי בקרן. כמו באופטיקה גאומטרית, גם קרן גאוסיאנית מתקדמת בקו ישר, אך בניגוד לגל מישורי לקרן גאוסיאנית יש רוחב סופי, שגדל ככל שהקרן מתקדמת . קרן גאוסיאנית מהווה את הקרן הממוקדת ביותר שאפשר להפיק תאורטית, אך גם בה רוחב הקרן סופי - כלומר: יש גבול לכמה ניתן למקד קרן אופטית.

תיאור מתמטי

המשוואה

קרן גאוסיאנית היא הפתרון הבסיסי של משוואת הלמהולץ תחת הקירוב הפרקסיאלי.

משוואת הלמהולץ, הנובעת ממשוואת הגלים, היא

$\ \nabla ^{2}E(x,y,z)+n^{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E(x,y,z)=0$

(כאשר n הוא מקדם השבירה האופטי). זו משוואה דיפרנציאלית רגילה ידועה. מנחשים פתרון מהצורה:

$\ E(x,y,z)=A(x,y,z)\exp {(-ikz)}$

(כאשר exp היא פונקציית האקספוננט) עם הקירוב הפרקסיאלי (קירוב זוויות קטנות) ו$k=\omega ^{2}\mu \epsilon$. מניחים קירוב נוסף - המעטפת משתנה לאט (כלומר: $\ \left|{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}\right|<<k\left|{\frac {\partial A}{\partial z}}\right|$). בסך הכל מקבלים שהמשוואה המקורבת היא

$\ \nabla _{\perp }^{2}A-2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}=0$

כאשר $\nabla _{\perp }^{2}$ הוא לפלסיאן בכיוון הניצב לכיוון התקדמות הקרן ו-i הוא מספר היחידה המדומה (i²=-1).

הפתרון

עבור קרן גאוסיאנית המתקדמת בכיוון ציר z, המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי נתונה על ידי

$E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\$

כאן

• $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ הוא המרחק הרדיאלי ממרכז הקרן,
• $z$ הוא המרחק מהנקודה הצרה ביותר של הקרן (הנקרא "מותן", מאנגלית:"waist"),
• $i$ הוא מספר היחידה המדומה המקיים $i^{2}=-1$,
• $k={2\pi \over \lambda }$ הוא מספר הגל (ביחידות רדיאנים למטר),
• $\ E_{0}=|E(0,0)|$,
• $\ w(z)$ הוא הרדיוס בו המשרעת והעוצמה יורדות ל-$\ 1/e$ ו-$\ 1/e^{2}$ בהתאמה, מהערך במרכז הקרן,
• $\ w_{0}=w(0)$ הוא רוחב (למעשה רדיוס) המותן (האזור הצר ביותר בקרן, ראו הרחבה בהמשך).

הפונקציות $\ w(z)$ (רוחב הקרן), $\ R(z)$ (רדיוס העקמומיות של הקרן) ו-$\ \zeta (z)$ (מופע/פאזה) הם פרמטרים שמאפיינים את הקרן הגאוסיאנית ויוגדרו בהמשך.

עוצמת הקרן, ממוצעת על פני הזמן, היא

$I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,$

כאשר $\ I_{0}=I(0,0)$ היא עוצמת הקרן במרכז האלומה במותן (z=0,r=0). הקבוע $\eta \,$ הוא העכבה האופיינית של התווך בו נמצאת הקרן. עבור ריק $\eta =\eta _{0}\approx 377\ \mathrm {\Omega }$.

פרמטרים של קרן גאוסיאנית

קרן גאוסיאנית עם רוחב $\ w(z)$ כפונקציה של המרחק z בציר ההתקדמות, $w_{0}$ עובי הקרן במותן, b עומק המוקד, $z_{R}$ טווח ריילי, $\Theta$ התבדרות זוויתית.

הגאומטריה וההתנהגות של קרן גאוסיאנית נשלטת על ידי קבוצה של פרמטרים, הנקראים beam parameters. פרמטרים אלה מתוארים להלן.

רוחב הקרן

עבור קרן גאוסיאנית המתקדמת בריק, גודל הנקודה שיוצרת הקרן, שנקרא גם "רוחב הקרן", $\ w(z)$ יקבל ערך מינימלי $\ w_{0}=w(0)$ בנקודה כלשהי לאורך ציר הקרן. נקודה זו, בה רוחב הקרן מזערי נקרא המותן (לפעמים "מותניים") של הקרן (באנגלית: beam waist). עבור קרן גאוסיאנית עם אורך גל $\lambda$ במרחק z מהמותן, השינוי ברוחב הקרן נתון על ידי

$w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}$

כאשר ראשית הצירים מוגדרת להיות במרכז הקרן במותן, ו-z נמדד ממותן הקרן. כמו כן,

$z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

נקרא טווח ריילי (או "מרחק קונפוקלי").

טווח ריילי והפרמטר הקונפוקלי

במרחק z ממותני הקרן השווה לטווח ריילי $z_{R}$, רוחב הקרן הוא:

$w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}\,$

המרחק בין שתי הנקודות הללו נקרא "הפרמטר הקונפוקלי (confocal parameter) או "עומק המוקד" (depth of focus) של הקרן:

$\ b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

רדיוס עקמומיות

$\ R(z)$ הוא רדיוס העקמומיות של חזיתות הגל המרכיבות את הקרן. ערך הרדיוס זה תלוי במידת ההתקדמות של הקרן לאורך ציר z ונתון על ידי:

$\ R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]$

התבדרות הקרן

הפרמטר $\ w(z)$ שואף לפונקציה לינארית ב-z עבור $z\gg z_{\mathrm {R} }$. הזווית בין קו ישר זה לציר הקרן (ציר z) נקרא "התבדרות" (divergence) הקרן. הוא נתון על ידי:

$\theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} )$

ההתבדרות הזוויתית הכוללת של הקרן נתונה על ידי:

$\Theta =2\theta \$

כלומר, פעמיים זווית הסטייה מהציר.

בגלל תכונה זו, קרן גאוסיאנית הממוקדת לנקודה קטנה מתבדרת ומתפשטת במהירות כשהיא מתקדמת הרחק ממותניה. כדי לשמור קרן לייזר מאד ממוקדת, היא חייבת להיות בעלת קוטר גדול. היחס בין רוחב הקרן להתבדרותה נגרם עקב עקיפה. גם קרניים לא-גאוסיאניות מציגות אפקט דומה, אך קרן גאוסיאנית היא מקרה פרטי ומיוחד בו מכפלת הרוחב וההתבדרות היא הקטנה ביותר האפשרית.

מאחר שהמודל של קרן גאוסיאנית משתמש בקירוב הפרקסיאלי, הוא נופל ונכשל כאשר חזיתות הגל מוטות בזוויות גדולות מכ-30 מעלות מכיוון התקדמות הקרן. מהביטוי לעיל עבור התבדרות הקרן נובע שהמודל המתמטי עבור קרן גאוסיאנית תקף רק כאשר מותני הקרן גדולים מ-$2\lambda /\pi$.

האיכות של קרן לייזר נמדדת באופן כמותי באמצעות מכפלת פרמטר הקרן (beam parameter product, בקיצור BPP). עבור קרן גאוסיאנית, ה-BPP היא מכפלת התבדרות הקרן ברוחב מותניה $w_{0}$. ערך ה-BPP של קרן אמיתית נמצא על ידי מדידת הקוטר המינימלי של הקרן והתבדרותה בשדה הרחוק, ואז ביצוע מכפלת שני המספרים. היחס בין ה-BPP של הקרן האמיתית לבין BPP של קרן גאוסיאנית באותו אורך גל מסומן כ-M² (מבוטא "M squared"). הערך של M² עבור קרן גאוסיאנית הוא 1. לכל שאר קרני הלייזר המופקות בפועל מלייזר, הגודל M² גדול מ-1, אך עבור קרניים איכותיות קרוב מאד ל-1.

מופע גוּי

"פיגור המופע הרוחבי" (longitudinal phase delay), או "מופע גוּי" (Gouy phase) הוא:

$\zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\$

זהו המופע (פאזה) של הקרן הגאוסיאנית.

פרמטר הקרן המרוכב

פרמטר הקרן המרוכב מוגדר על ידי

$\ q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }$

והוא מספר מרוכב המשמש לתיאור קומפקטי של קרן גאוסיאנית.

יותר נוח בדרך כלל לעבוד עם ההפכי שלו

${1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}$

כאשר $\ w(z)$ הוא רוחב הקרן ו-$\ R(z)$ הוא רדיוס העקמומיות שלה, כפי שהוגדרו לעיל.

פרמטר הקרן המרוכב ממלא תפקיד מרכזי בניתוח התקדמותה של קרן גאוסיאנית, בייחוד בניתוח של חלל מהוד אופטי באמצעות חשבון מטריצות ABCD.

במונחי פרמטר הקרן המרוכב q, השדה הגאוסיאני בממד אחד הניצב לציר z מתכונתי ל-

${u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right)$.

ב-2 ממדים ניתן לכתוב קרן בעלת חתך אליפטי כמכפלה

${u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z)$,

שעבור המקרה הנפוץ של סימטריה מעגלית, בה ${q}_{x}={q}_{y}={q}$ and $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ נותן

${u}(r,z)={\frac {1}{z_{\mathrm {R} }{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right)$.

זהו תיאור קומפקטי של קרן גאוסיאנית.

הספק ועוצמה

הספק דרך צמצם

ההספק P שעובר דרך צמצם או מפתח עגול ברדיוס r דרך מישור הניצב לכיוון התקדמות הקרן הגאוסיאנית, כתלות במיקום הצמצם z ביחס למותן הקרן, הוא:

$P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]$

כאשר:

$P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}$

הוא ההספק הכולל של הקרן.

עבור מפתח בעל רדיוס $r=w(z)\,$, החלק היחסי של ההספק שמועבר הוא

${P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\$

כדי ש-95% מההספק יעברו דרך המפתח, על רדיוסו להיות באורך $r=1.224\cdot w(z)\,$.

עוצמה

את עוצמת השיא של קרן גאוסיאנית במרחק z מהמותן ניתן לחשב באמצעות כלל לופיטל כגבול של ההספק הכלוא בתוך עיגול ברדיוס r חלקי שטח העיגול (שהוא $\pi r^{2}$):

$I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.$

אנו רואים, אם כן, שעוצמת השיא היא פעמיים העוצמה הממוצעת (אותה מחשבים על ידי סך ההספק חלקי השטח הכלוא בעיגול ברדיוס $\ w(z)$).

התקדמות במרחב במערכת אופטית

התקדמות של קרן גאוסיאנית במרחב, בתווך אופטי או דרך אלמנט אופטי ניתן לתאר על ידי השינוי בפרמטר הקרן המרוכב q, או ליתר דיוק בהפכי שלו, כאשר הוא מחושב לפי חשבון מטריצות ABCD (נקראות גם "Ray transfer matrix analysis"). בשיטה זו, הפרמטר 'q אחרי האלמנט האופטי מתואר על ידי

$\ q'={\frac {Aq+B}{Cq+D}}$

כאשר A,B,C,D הם פרמטרים התלויים במערכת האופטית ו-q הוא פרמטר הקרן המרוכב לפני האלמנט האופטי.

מרחב חופשי

עבור מרחב חופשי ההתקדמות של קרן מ-$z_{1}$ ל-$z_{2}$ מתוארת על ידי

$\ q'=q+(z_{2}-z_{1})$

ולכן $A=1,\ B=z_{2}-z_{1},\ C=0,\ D=1$.

עדשה

עבור התקדמות דרך עדשה ניתן לחשב את התקדמות הקרן הגאוסיאנית לפי תכונות התנהגותה אחרי העדשה והעובדה שעדשה הופכת קרן גאוסיאנית לקרן גאוסיאנית אחרת. בפרט, רוחבי הקרניים על העדשה (אך משני צידיה) שווים

$\ z_{R}^{\prime }\left(1+(z'/z_{R}^{\prime })^{2}\right)=z_{R}\left(1+(z/z_{R})^{2}\right)$

ורדיוס העקמומיות שלה מקיים

$\ {\frac {1}{R(z)}}-{\frac {1}{f}}={\frac {1}{R'(z')}}$

פתרון שתי המשוואות נותן

${\frac {1}{z+{\frac {z_{R}^{2}}{z-f}}}}+{\frac {1}{z'}}={\frac {1}{f}}$

מאחר ש- $\ Re(1/q)=1/R(z)$ ניתן להראות שהשתנות הפרמטר המרוכב דרך עדשה נתונה על ידי

$\ {\frac {1}{q'}}={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{f}}$

או

$\ q'={\frac {fq}{f-q}}={\frac {q}{-{\frac {q}{f}}+1}}$

כלומר: $A=1,\ B=0,\ C={\frac {-1}{f}},\ D=1$.

מיקום הדמות בעדשה של קרן גאוסיאנית עם מותן ב-$\ z_{o}$ נמצא ב-:

$\ z_{i}=\left({\frac {1}{f}}-{\frac {1}{z_{o}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}}}\right)^{-1}$

ניתן לראות שעבור קרן שהמותן שלה נמצא במוקד העדשה, המותן של קרן הדמות יתקבלו במוקד מצידה השני של ההעדשה.

בנוסף, ההגדלה של קרן גאוסיאנית דרך עדשה היא

$\ M={\frac {w_{0}^{\prime }}{w_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {z}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {z_{R}}{f}}\right)^{2}}}}$

מודים מסדר גבוה יותר

קרניים גאוסיאניות הן רק פתרון אחד אפשרי למשוואת הגלים הפרקסיאלית. ישנן מספר קבוצות של פתרונות אורתוגונליים (זה לזה) המשמשים לתאר קרני לייזר. במקרה הכללי, אם בסיס שלם של פתרונות נבחר, ניתן לתאר כל קרן לייזר כצירוף לינארי של פתרונות מבסיס. תכנון הלייזר קובע איזה בסיס של פתרונות הוא השימושי ביותר. במקרים מסוימים, ניתן לתאר את קרן הלייזר כמוד אחד יחיד מסדר-גבוה. אופני (אופן=מוד) הרמיט-גאוס הם הנפוצים ביותר, שכן מערכות לייזר רבות הן בעלות סימטריית שיקוף קרטזית במישור הניצב לכיוון התקדמות הקרן.

אופני הרמיט-גאוס

אופני הרמיט-גאוס הם תיאור נוח של קרן לייזר היוצאת מלייזר בו החלל הוא לא בעל סימטריה מעגלית, אלא יש הבחנה בין הכיוון האופקי לכיוון האנכי. במונחי פרמטר הקרן המרוכב q, התפלגות העוצמה במישור x-z פרופורציונלי ל-

${u}_{n}(x,z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{2^{n}n!w_{0}}}\right)^{1/2}\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{1/2}\left[{\frac {{q}_{0}}{{q}_{0}^{\ast }}}{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right]^{(2n+1)/4}H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\exp \left[-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right]$

כאשר $H_{n}(x)$ הוא פולינום הרמיט מסדר n (בצורה הנהוגה בקרב הפיזיקאים, כלומר: $H_{1}(x)=2x\,$), והכוכבית מסמלת צמוד מרוכב. עבור n=0 מקבלים התפלגות גאוסיאנית הניצבת לכיוון התקדמות הקרן.

עבור מערכת קרטזית דו-ממדית, ניתן לבנות פונקציה $\ {u}_{m,n}(x,y,z)=u_{m}(x,z)u_{n}(y,z)$ מהפתרונות לעיל. זה אפשרי מכיוון שניתן לפתור את משוואת הלמהולץ הפרקסיאלית באמצעות הפרדת משתנים. coordinates.

אופני הרמיט-גאוס מסומנית $\ {\textrm {TEM}}_{m,n}$ כאשר m ו-n הם סדרי הפולינומים (של הרמיט) בכיווני x ו-y בהתאמה. כמקרה פרטי, קרן גאוסיאנית היא המוד $\ {\textrm {TEM}}_{0,0}$

אופני לאגר-גאוס

אם מתארים את קרן הלייזר בקואורדינטות גליליות, אפשר לתאר את המודים מסדרים גבוהים על ידי פולינומי לאגר במקום על פולינומי הרמיט. אופני לאגר-הרמיט מתוארים על ידי המשוואה הבאה:

${u}(r,\theta ,z)={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (m+p)!}}}{\frac {\exp \left(i(2p+m+1)(\psi (z)-\psi _{0})\right)}{w(z)}}\times \left({\frac {{\sqrt {2}}r}{w(z)}}\right)^{m}L_{p}^{m}\left({\frac {2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}+im\theta \right],$

כאשר $L_{p}^{m}(r)$ הם פולינומי לאגר המוכללים עם אינדקס רדיאלי $p\geq 0$ ואינדקס אזימוטלי $m$.

אופני אינס-גאוס

בקואורדינטות אליפטיות ניתן לתאר את המודים מסדרים גבוהים באמצעות פולינומי אינס. אופני אינס-גאוס האי-זוגיים והזוגיים נתונים על ידי

$u\left(\varepsilon ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\psi _{GS}\left(z\right)\right],$

כאשר $\xi$ היא הקואורדינטה האליפטית הרדיאלית ו-$\eta$ היא הקואורדינטה האליפטית הזוויתית, והן מוגדרות מתמטית על ידי

$x={\sqrt {\varepsilon /2}}w\left(z\right)\cosh \xi \cos \eta ,$

$y={\sqrt {\varepsilon /2}}w\left(z\right)\sinh \xi \sin \eta ,$

${C}_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)$ הם פולינומי אינס הזוגיים מסדר p ומעלה m ואילו $\varepsilon$ הוא פרמטר האקסצנטריות של האליפסה. כמו כן $\psi _{GS}\left(z\right)=\arctan \left(z/z_{\mathrm {R} }\right)$ הוא מופע גוי.

אופני הרמיט-גאוס ואופני לאגר-גאוס הם מקרה פרטי של אופני אינס-גאוס עבור אקצנטריות ששווה לאינסוף ואפס בהתאמה.

אופני גאוס היפרגאומטריים

ישנה מחלקה נוספת של אופנים (מודים) פרקסיאליים בקואורדינטות קוטביות בהן המשרעת המרוכבת פרופורציונלית לפונקציה היפרגאומטרית. אופנים אלה הם בעלי פרופיל מופיע סינגולרי והם פונקציות עצמיות של התנע הזוויתי המסילתי של הפוטון. העוצמה של פרופיל הקרן מאופיין על ידי טבעת בוהקת אחת עם סינגולריות במרכזה, בה המשרעת מתאפסת. התפלגות הפרופיל מתוארת על ידי

$u_{pm}(\rho ,\theta ;\zeta )={\sqrt {\frac {2^{p+|m|+1}}{\pi \Gamma (p+|m|+1)}}}{\frac {\Gamma (1+|m|+{\frac {p}{2}})}{\Gamma (|m|+1)}}\,\,i^{|m|+1}\zeta ^{\frac {p}{2}}(\zeta +i)^{-(1+|m|+{\frac {p}{2}})}\rho ^{|m|}e^{-{\frac {i\rho ^{2}}{(\zeta +i)}}}e^{im\phi }{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},|m|+1;{\frac {r^{2}}{\zeta (\zeta +i)}}\right),$

כאשר m הוא מספר שלם, $p\geq -|m|$ הוא מספר ממשי, $\ \Gamma (x)$ היא פונקציית גאמה ו $\ {}_{1}F_{1}(a,b;x)$ היא הפונקציה ההיפרגאומטרית המתלכדת.

מספר תת-משפחות של אופני גאוס ההיפרגאומטריים (HyGG) ניתן לרשום כפונקציות בסל מותאמות (modified), כאקספוננטים מותאמים של מודים גאוסיאניים וכן פולינומי לאגר המותאמים. ברם, משפחת HyGG הם יותר משלמים (כלומר: ישנה יתירות של מודים ולא צריך את כל המשפחה כדי לפרוש את כל המרחב) ולא אורתוגונליים. למרות הפרופיל המסובך שלהם, למודי HyGG יש פרופיל די פשוט במישור הצמצם/מפתח,

$u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{p+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }$

וזה מסביר מדוע גל הבא מהולוגרמת קלשון (pitch-fork) הוא תת-משפחה של אופני HyGG. הפרופיל של מוד HyGG כאשר הקרן מתקדמת לאורך $\zeta$ הוא בעל שינויים משמעותיים ולא יציב מתחת לטווח ריילי.

לקריאה נוספת

• Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• Mandel, Leonard and Wolf, Emil (1995). Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.

• Siegman, Anthony E. (1986). Lasers. University Science Books. ISBN 0-935702-11-3. Chapter 16.

• Yariv, Amnon (1989). Quantum Electronics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-60997-8.

קישורים חיצוניים

• F. Pampaloni and J. Enderlein (2004). "Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer". ArXiv:physics/0410021.
• Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega (2004). "Ince Gaussian beams". Opt. Lett. OSA. 29 (2): 144–146. doi:10.1364/OL.29.000144.
• E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato (2007). "Hypergeometric-Gaussian beams". Opt. Lett. OSA. 32 (21): 3053–3055. doi:10.1364/OL.32.003053.{{cite journal}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)
• Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport