הפרדת משתנים

הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון. לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיזיקליות חשובות רבות (לדוגמה משוואת שרדינגר, משוואת הגלים, משוואת החום, משוואת הדיפוזיה ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.

הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית רגילה

אם נתונה משוואה דיפרנציאלית רגילה בצורה

${\frac {df(x)}{dx}}=g(x)h(f(x))$

אפשר לבצע הפרדת משתנים. נסמן $y=f(x)$ ואז

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)$.

אם $h(y)\neq 0$ אפשר לחלק בו את שני האגפים ולקבל

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)$.

כעת נבצע לשני האגפים אינטגרציה לפי x ונקבל

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int g(x)dx$

ובאמצעות חילוף משתנים, אגף שמאל נהפך ל-

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int {\frac {1}{h(y)}}dy$.

באמצעות אינטגרציה על שני האגפים מקבלים:

$\int {\frac {1}{h(y)}}dy+C_{2}=\int g(x)dx+C_{1}$.

הערה: אפשר להסתפק בקבוע אינטגרציה אחד, שכן $C=C_{1}-C_{2}$.

הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית חלקית

בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה $\psi ({\vec {x}},{\vec {y}})$, ניתן "לנחש פתרון" שבו הפונקציה $\psi$ ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות $\psi ({\vec {x}},{\vec {y}})=f({\vec {x}})\cdot g({\vec {y}})$. כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל${\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}=g\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ וכך בדומה לנגזרות לפי $y_{i}$. כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו:

$$h_{x}(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}\partial x_{k}}},\dots )=h_{y}(g,{\frac {\partial g}{\partial y_{i}}},{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y_{i}\partial y_{j}}},{\frac {\partial ^{3}g}{\partial y_{i}\partial y_{j}\partial y_{k}}},\dots )$$

. מדוע זה טוב לנו? מפני שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק בx, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק בy. אם כך, אנחנו מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי בx - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "קבוע ההפרדה". כעת, הפרדת המשתנים העבירה אותנו ממשוואה אחת ב"הרבה" נעלמים, לשתי משוואות עם פחות נעלמים בכל אחת. אם נמשיך לבצע הפרדות משתנים נגיע לבסוף למד"ר. עם זאת, נשים לב שהפרדת משתנים פוגעת כמעט תמיד בכלליות הפתרונות - למשל, במשוואת שרדינגר, כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה אבל הפרדת משתנים מצמצמת אותנו לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כפול פונקציה זמנית. עם זאת, לעיתים (כמו במשוואת שרדינגר) כל פתרון למשוואה ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. במקרה זה לא הפסדנו הרבה.

דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים

במשוואה דיפרציאלית רגילה

נתבונן במשוואה הבאה

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y)$.

ניתן להעביר אגפים ולכתוב אותה כך:

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx$.

כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y.

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx$

חישוב האינטגרל נותן

$\ \ln |y|-\ln |1-y|=x+C$

כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא:

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}.$.

במשוואה דיפרנציאלית חלקית

נתבונן במשוואת הגלים

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)$

נחפש פתרון מן הצורה $\ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)$ נציב זאת למשוואה ונקבל:

$\phi ''(x)\chi (t)={\frac {1}{v^{2}}}\phi (x)\chi ''(t)$

נחלק ב $\ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)$ ונקבל

${\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\chi ''(t)}{\chi (t)}}$

במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב-$\,\lambda$. קיבלנו במקום המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:

${\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}=\lambda$

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\chi ''(t)}{\chi (t)}}=\lambda$

שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני שפתרונן ידוע).

דוגמה נוספת לשימוש: משוואת שרדינגר

משוואת שרדינגר היא המשוואה היסודית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית. הנה פתרונה, באמצעות הפרדת משתנים: מנחשים פתרון מהצורה

$\psi (t,{\vec {r}})=T(t)\cdot \Psi (r)$

מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים

$i\hbar \Psi \cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}T\cdot \nabla ^{2}\Psi +V({\vec {r}})T\Psi$

מחלקים ב$\psi =T(t)\cdot \Psi ({\vec {r}})$ ומקבלים

$i\hbar {\frac {1}{T(t)}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {1}{\Psi ({\vec {r}})}}\cdot {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot \nabla ^{2}\Psi +V({\vec {(}}r))$

אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד לכן קבועים. נקרא לקבוע ההפרדה $E$(שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה). המשוואה עבור הזמן תהיה(לאחר העברת אגפים)

${\frac {\partial T}{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}T(t)$

שפתרונה הוא האקספוננט המדומה $T(t)=e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}$. נשים לב רק שE הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל ישנה סדרה של פתרונות ולכן נהוג לסמן אותו כ$E_{n}$.

כעת נותרנו עם הפונקציה $\psi (t,{\vec {r}})=e^{-iEt/{\hbar }}\Psi ({\vec {r}})$, ועבור $\Psi$ מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$E\Psi ({\vec {r}})={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\vec {r}})+V({\vec {r}})\Psi ({\vec {r}})$

זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם ליוביל. למעשה אנחנו מחפשים פונקציות $\Psi _{n}$ כך ש

$\ H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}$ ,

כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". נעיר שאת המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש $\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle =1$ . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים.

מאחר שזו משוואה לינארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר:

$\psi (t,{\vec {r}})=\sum _{n}{A_{n}\Psi _{n}({\vec {r}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t}}$

במקרה של משוואת שרדינגר, ניתן להשתמש בדרישה שעל ההמילטוניאן להיות הרמיטי, ולכן להסיק כי אכן, צירופים לינאריים כאלו מכסים את כל הפתרונות. נשים לב שההפרדה פה לא קידמה אותנו "עד הסוף" שכן נותרנו עדיין עם משוואה בשלושה ממדים - אך פעמים רבות ניתן להפריד בה משתנים שוב.