קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי

במתמטיקה, ובמיוחד בתורה של משטחי רימן קומפקטים, קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על משטחים אלו היא שאלה בסיסית, משום שהיא מאפשרת לבנות פונקציות המקיימות דרישות בסיסיות כמו מיקומם של אפסים או קטבים.

ניתן להוכיח כי על משטח רימן קומפקטי אין פונקציות הולומורפיות לא קבועות (ראו פונקציות על משטחי רימן), ולכן שאלת קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות עולה באופן טבעי.

הוכחה לכאורה בעזרת משפט רימן-רוך

לכאורה, ניתן להוכיח קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על ידי משפט רימן רוך (או אפילו מהגרסה החלשה יותר – אי-שוויון רימן): נניח כי X הוא משטח רימן קומפקטי עם גנוס g. נבחר נקודה כלשהי $\,p\in X$ ונגדיר מחלק D על ידי $\,D=(g+1)\cdot p$. כעת, על פי אי שוויון רימן, $\dim L(D)\geq \deg D-g+1=2$. בפרט, $\,L(D)$ מכיל פונקציות מרומורפיות לא קבועות, ולכן קיימות פונקציות כאלו על X.

הוכחה זו, על אף נכונותה היא למעשה חסרת ערך מעשי, משום שבשביל לתת הוכחה מלאה למשפט רימן-רוך יש צורך להוכיח קודם לכן את קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות, כך שזוהי למעשה הוכחה מעגלית.

משפט הסופיות של ז'אן-פייר סר

על מנת להוכיח את המשפט נסתמך על משפט של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן-פייר סר.

נניח כי X הוא משטח רימן קומפקטי וכי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \,{\mathcal {O}}_{X}} היא אלומת הפונקציות ההולומורפיות על X. נניח כי ${\mathcal {U}}$ הוא כיסוי פתוח של X. משפטו של סר קובע כי במקרה זה $\,\dim H^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {O}}_{X})<\infty$, כלומר הממד של קוהומולוגיית צ'ך הראשונה ביחס לכיסוי זה ואלומה זו הוא סופי.

הוכחת משפט הקיום תוך שימוש במשפט הסופיות

תוך שימוש במשפט הסופיות, נוכיח כעת את המשפט הבא: נניח כי X הוא משטח רימן קומפקטי וכי $\,p\in X$, אז קיימת פונקציה מרומורפית $\,f\in {\mathcal {M}}(X)$ (כזכור, $\,{\mathcal {M}}(X)$ הוא שדה הפונקציות המרומורפיות על X) כך של f יש קוטב בp, וכך ש f הולומורפית על הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \,X-\{p\}} .

הוכחת המשפט:

נבחר סביבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U_1} של p כך שקיימת מפה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,z:U_1 \rightarrow \mathbb{C}} , כך שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,z(p)=0} . כמו כן, נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U_2 = X - \{p\}} . מכיוון ש $p\in U_{1}$, הרי ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{U} = \{U_1,U_2\}} הוא כיסוי פתוח של X. תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}_X} אלומת הפונקציות ההולומורפיות של X, ונסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n = \dim H^1(\mathcal{U},\mathcal{O}_X)} . על פי משפט הסופיות של סר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,n < \infty} . לפיכך, התמונות של n+1 הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,z^{-1}, z^{-2}, \dots, z^{-n},z^{-(n+1)}} (ההולומורפיות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U_1 \cap U_2 = U_1 - \{p\}} ) בקוהומולוגיית צ'ך הראשונה הן תלויות לינארית. לכן קיים צירוף לינארי לא-טריוויאלי $\,\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}z^{-i}=0$. כזכור, התאפסות בקוהומולוגיית צ'ך משמעה שקיים איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f \in C^0(\mathcal{U},\mathcal{O}_X)} כך ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\delta_0(f) = \sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i z^{-i}} . האיבר f מורכב מזוג פונקציות הולומורפיות, פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_1} ההולומורפית על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U_1} , ופונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f_2} ההולומורפית על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U_2} . את השוויון לעיל ניתן לכתוב בצורה מפורשת כך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i z^{-i} = (f_2-f_1)|_{U_1 \cap U_2}} . על מנת לסיים את ההוכחה, נגדיר את הפונקציה המבוקשת g באופן הבא: $\,g|_{U_{2}}=f_{2}$, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,g|_{U_1} = f_1 + \sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i z^{-i}} . נשים לב כי מהשוויון לעיל שתי ההגדרות מסכימות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,U_1 \cap U_2} , ולכן g מוגדרת היטב. כמו כן, ברור כי g הולומורפית על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,X-\{p\}} , וכן מכיוון שלסכום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i z^{-i}} יש קוטב בנקודה p, הרי שכך גם לg וההוכחה הושלמה.

משטחים לא קומפקטים וממדים גבוהים יותר

בצורה דומה להוכחה הנ"ל, ניתן להוכיח כי על כל משטח רימן לא קומפקטי קיימות פונקציות הולומורפיות (ובפרט מרומורפיות) שאינן קבועות. מסתבר כי בממדים גבוהים יותר המשפט אינו נכון. כלומר, קיימות יריעות מרוכבות שאין עליהן פונקציות הולומורפיות לא קבועות, ואף אין עליהן פונקציות מרומורפיות לא קבועות. יריעה נקראת יריעה מרוכבת אם היא הומיאומורפית באופן מקומי לתת קבוצה פתוחה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,\mathbb{C}^n} , ופונקציות החלפת הקואורדינטות הן פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים (בדומה למקרה של משתנה אחד, פונקציה של כמה משתנים היא הולומורפית אם ורק אם היא אנליטית).

לקריאה נוספת

• Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces (1981), Springer. מסת"ב 0-3879-0617-7