פנים (טופולוגיה)

הנקודה $p$ נמצאת בפנים של הקבוצה $V$ שכן הקבוצה $V$ מכילה סביבה של $p$

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.

נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $A$ בסימונים $\text{Int}(A),A^{\circ }$ .

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהי $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה $\text{Int}(A)$ , בתור קבוצת כל הנקודות $x\in A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $B$ עבורה $x\in B\subseteq A$ – כלומר, הקבוצה $A$ היא סביבה של $x$ .

• תהי $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר המוכלת ב-$A$ . על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$A$ .

• תהי $A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $\text{Int}(A)=(\overline{A^c}{)}^c$ .

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $[0,1]$ בישר הממשי.

$\begin{array}{rl}[0,1{]}^c& =(\mathrm{\infty },0)\cup (1,\mathrm{\infty })\\ \overline{[0,1{]}^c}& =(\mathrm{\infty },0]\cup [(1,\mathrm{\infty })\\ (\overline{[0,1{]}^c}{)}^c& =(0,1)\end{array}$

ולכן הפנים של $[0,1]$ הוא הקטע הפתוח $(0,1)$ .

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $A=\text{Int}(A)$ . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $\text{Int}(A)=\text{Int}(\text{Int}(A))$ .
• $A\subseteq B\Rightarrow \text{Int}(A)\subseteq \text{Int}(B)$
• $\text{Int}(A)\cup \text{Int}(B)\subseteq \text{Int}(A\cup B)$
• $\text{Int}(A\cap B)=\text{Int}(A)\cap \text{Int}(B)$

חוץ

החוץ של קבוצה $A$ , המסומן $\text{Ext}(A)$ , מוגדר כפנים של המשלים שלה: $\text{Ext}(A)=\text{Int}(A^c)$ . באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: $\text{Ext}(A)=(\overline{A}{)}^c$ .

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.

ראו גם

• נקודת מרכז

פנים_(טופולוגיה)19250067Q862761