משפט דה מואבר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף נוסחת דה-מואבר)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים

zn=[cos(x)+isin(x)]n=cos(nx)+isin(nx)

כאשר: Re(z)=cos(x) הרכיב הממשי במספר מרוכב z , Im(z)=isin(x) הרכיב המדומה במספר זה.

כלומר, חשיבות משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן מעשי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה מן הזהות

[cos(x)+isin(x)][cos(y)+isin(y)]=cos(x+y)+isin(x+y)

השקולה לזהויות הטריגונומטריות

cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)=cos(x+y)cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)=sin(x+y)

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים cos(nx),sin(nx) כפולינומים ב- cos(x),sin(x) בהתאמה.

כך למשל, cos(5x)=16cos(x)520cos(x)3+5cos(x) – ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר קרוב של אייזק ניוטון. בשנת 1698 כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי (exi)n=e(nx)i .

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו.

אם z מספר מרוכב אשר Im(z)0 , אזי ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה z=r[cos(x)+isin(x)] , כאשר r>0 , x(0,2π) .

המספר ω=R[cos(y)+isin(y)] , R>0 הוא שורש מסדר n של z אם ωn=z , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,

Rn[cos(ny)+isin(ny)]=r[cos(x)+isin(x)]

זה קורה בדיוק כאשר:

Rn=r , cos(ny)+isin(ny)=cos(x)+isin(x)

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n והפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור 2π :

ω=zn=r[cos(x)+isin(x)]n=rn[cos(x+2πkn)+isin(x+2πkn)]

כאשר k=0,1,,n1 , ואלו בדיוק n השורשים של z .

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט_דה_מואבר18131104Q190556