משפט דה מואבר

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר (Abraham de Moivre), קובע שלכל מספר ממשי $x$ ולכל מספר שלם $n$ מתקיים

$z^n=[\cos (x)+i\sin (x){]}^n=\cos (nx)+i\sin (nx)$

כאשר: $\text{Re}(z)=\cos (x)$ הרכיב הממשי במספר מרוכב $z$ , $\text{Im}(z)=i\sin (x)$ הרכיב המדומה במספר זה.

כלומר, חשיבות משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה; ובאופן מעשי מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה (או למצוא שורש שלהם, באופן דומה).

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה מן הזהות

$[\cos (x)+i\sin (x)][\cos (y)+i\sin (y)]=\cos (x+y)+i\sin (x+y)$

השקולה לזהויות הטריגונומטריות

$\begin{array}{rl}\cos (x)\cos (y)-\sin (x)\sin (y)& =\cos (x+y)\\ \cos (x)\sin (y)+\sin (x)\cos (y)& =\sin (x+y)\end{array}$

לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים $\cos (nx),\sin (nx)$ כפולינומים ב- $\cos (x),\sin (x)$ בהתאמה.

כך למשל, $\cos (5x)=16\cos (x{)}^5-20\cos (x{)}^3+5\cos (x)$ – ראו פולינומי צ'בישב.

אברהם דה-מואבר היה חבר קרוב של אייזק ניוטון. בשנת 1698 כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי $(e^{xi}{)}^n=e^{(nx)i}$ .

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר $n$ של מספר מרוכב כלשהו.

אם $z$ מספר מרוכב אשר $\text{Im}(z)\ne 0$ , אזי ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה $z=r[\cos (x)+i\sin (x)]$ , כאשר $r>0,x\in (0,2\pi )$ .

המספר $\omega =R[\cos (y)+i\sin (y)],R>0$ הוא שורש מסדר $n$ של $z$ אם ${\omega }^n=z$ , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,

$R^n[\cos (ny)+i\sin (ny)]=r[\cos (x)+i\sin (x)]$

זה קורה בדיוק כאשר:

$R^n=r,\cos (ny)+i\sin (ny)=\cos (x)+i\sin (x)$

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר $n$ והפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור $2\pi$ :

$\omega =\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r[\cos (x)+i\sin (x)]}=\sqrt[n]{r}[\cos \left(\frac{x+2\pi k}{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2\pi k}{n}\right)]$

כאשר $k=0,1,\dots ,n-1$ , ואלו בדיוק $n$ השורשים של $z$ .

ראו גם

• נוסחת אוילר
• שורש יחידה

קישורים חיצוניים

• משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט_דה_מואבר18131104Q190556