נוסחאות ויאטה

באלגברה, נוסחאות ויאטה (על שם המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט) הן נוסחאות המקשרות בין מקדמי פולינומים לבין שורשיהם בשדות סגורים אלגברית כמו שדה המספרים המרוכבים^[1].

עבור פולינום מהצורה $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ , עם שורשים $x_{1}, \dots, x_{n}$ (כולל ריבוי), מתקיים:

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + x_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} \\ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n}) + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} \\ (x_{1} x_{2} x_{3} + \dots + x_{1} x_{2} x_{n}) + (x_{1} x_{3} x_{4} + \dots + x_{1} x_{3} x_{n}) + \dots + (x_{2} x_{3} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n - 1} x_{n}) + \dots + x_{n - 2} x_{n - 1} x_{n} = - \frac{a_{n - 3}}{a_{n}} \\ ⋮ \\ x_{1} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{cases}

הנוסחה לכל אחד ואחד היא:

\sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n}^{n} x_{i_{1}} \dots x_{i_{k}} = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}

לדוגמה, מתקיים:

\sum_{j = 1}^{n} x_{j} = - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}}, \prod_{j = 1}^{n} x_{j} = (- 1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}

בפרט, עבור משוואה ממעלה שנייה $p (x) = a x^{2} + b x + c$ מתקיים:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

מאחר שעבור כל מטריצה, הערכים העצמיים שלה הם שורשי הפולינום האופייני, לפי נוסחאות ויאטה מתקיימים גם הקשרים הבאים:

\sum_{j = 1}^{n} x_{j} = t r (A), \prod_{j = 1}^{n} x_{j} = \det (A)

כאשר $A$ היא המטריצה ו- $x_{j}$ הם הערכים העצמיים שלה. זאת כיוון שהמקדם החופשי בפולינום האופייני הוא הדטרמיננטה, המקדם של החזקה המקסימלית הוא 1 והמקדם של החזקה הבאה הוא מינוס העקבה של המטריצה.

קישורים חיצוניים

נוסחאות ויאטה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ נוסחאות ויאטה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחאות ויאטה40462879Q570779

[1] נוסחאות ויאטה, באתר MathWorld (באנגלית)

[1]

	ערך מחפש מקורות
	רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים. אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים. אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.