משפט דה מואבר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף נוסחאות דה-מואבר)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
אברהם דה-מואבר

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי x ולכל מספר שלם n מתקיים:

(cos(x)+isin(x))n=cos(nx)+isin(nx)

כאשר cos(x) מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב cos(x)+isin(x), ו־isin(x) מייצג את הרכיב המדומה במספר זה.

חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים cos(nx) ו-sin(nx) כפולינומים ב-cos(x) ו-sin(x), בהתאמה. כך לדוגמה, cos(5x)=16cos(x)520cos(x)3+5cos(x). ראו פולינומי צ'בישב.

את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות  [cos(x)+isin(x)][cos(y)+isin(y)]=cos(x+y)+isin(x+y), השקולה לזהויות הטריגונומטריות  cos(x)cos(y)sin(x)sin(y)=cos(x+y) ו- cos(x)sin(y)+sin(x)cos(y)=sin(x+y).

אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי (eix)n=ei(nx).

הוצאת שורש מרוכב

ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה z=A(cosx+isinx),  0<A ו-  0x<2π.

המספר  ω=B(cosy+isiny) (עם  0<B), הוא שורש מסדר n של z אם  ωn=z, כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,  Bn(cosny+isinny)=A(cosx+isinx). זה קורה בדיוק כאשר :

  Bn=A cosny+isinny=cosx+isinx

כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור  2π(רדיאנים):

ω=zn=A(cosx+isinx)n=An{cos(x+2kπn)+isin(x+2kπn)}

כאשר  k=0,1,,n1, ואלו בדיוק n השורשים של z.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט דה מואבר37880356Q190556