משפט פטר-דאגלס-ניומן

בגאומטריה, משפט פטר-דאגלס-ניומן (פד"ן בקיצור) עוסק בבניה של משולשים שווי-שוקיים על גבי צלעותיו של מצולע.

המשפט נקרא על שמם של המתמטיקאים קארל פטר, ג'סי דאגלס וברנהארד ניומן. פטר הוכיח את המשפט לראשונה ב-1905, בעוד דאגלס וניומן הוכיחו אותו שוב כל אחד באופן עצמאי בשנות ה-40 של המאה ה-20.^[1] המשפט נקרא גם משפט דאגלס^[2], משפט פטר^[3] והנס של פטר^[4].

ייחודו של המשפט בכך שעל אף שמדובר במשפט גאומטרי מורכב לניסוח, ניתן להוכיחו באופן פשוט יחסית באמצעות מספרים מרוכבים.

המשפט מהווה הכללה של מספר משפטים בגאומטריה, ביניהם משפט נפוליאון ומשפט ואן אובל.

נוסח המשפט

יהי מצולע כלשהו $A_{0}$ בעל $n$ קודקודים. על כל צלע של המצולע בונים משולש שווה-שוקיים הפונה החוצה מן המצולע שזווית הראש שלו היא מגודל $\frac{2 k π}{n}$ עבור $1 \leq k \leq n - 2$ (הזווית נמדדת ברדיאנים). לוקחים את קודקוד הראש של כל משולש שווה-שוקיים שכזה ומרכיבים ממנו מצולע חדש בעל $n$ קודקודים. מסמנים את המצולע הזה ב- $A_{1}$ . חוזרים על התהליך $n - 2$ פעמים כאשר בכל פעם בוחרים $k$ אחר מכל הבחירות הקודמות עד שכל הערכים בין $1$ ל- $n - 2$ נבחרו. מסמנים את כל המצולעים שנוצרו בתהליך ב- $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n - 2}$ שלכל אחד מהם $n$ קודקודים. אזי:^[5]

לכל המצולעים שנוצרו בתהליך, נקודת מרכז הכובד זהה למרכז הכובד של המצולע המקורי.
המצולע $A_{n - 2}$ אינו תלוי בסדר הבחירה של ערכי $k$ .
המצולע $A_{n - 2}$ הוא מצולע משוכלל.

הבהרה: עבור חלק מערכי $n$ וערכי $k$ מתקבלת זווית ראש $\frac{2 k π}{n}$ שגדולה מ- $π$ רדיאנים (180 מעלות). במקרה זה בונים את המשולש שווה השוקיים פנימה אל המצולע עם זווית ראש $2 π - \frac{2 k π}{n}$ . ניתן לחשוב על כך כאילו המשולש "התהפך" לכיוון השני ברגע שזווית הראש שלו עברה את 180 המעלות.

במקרה שבו $n$ הוא זוגי ו- $k = \frac{n}{2}$ מתקבל זווית ראש של $π$ רדיאנים בדיוק. במקרה זו המשולשים מתנוונים ומתלכדים עם הצלע. משמע, לקיחת קודקוד הראש מהמשולש המנוון שקולה ללקיחת נקודת אמצע קטע.

דוגמאות

משפט פד"ן עבור משולשים. זווית הראש של המשולשים היא $12 0^{\circ}$ . המשולש האחרון שמתקבל הוא משולש שווה-צלעות. זהו למעשה משפט נפוליאון.
משפט פד"ן למרובעים. בדוגמה זו נבחר הסדר $k = 1$ ואז $k = 2$ . זווית הראש הראשונה היא $9 0^{\circ}$ , ועל כן בונים על כל צלע משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים. זווית הראש השנייה היא $18 0^{\circ}$ , מה שיוצר משולש מנוון. משמע, לוקחים את המרובע שמתקבל וחוצים כל צלע שלו ליצירת מרובע נוסף. המרובע האחרון שמתקבל הוא ריבוע.
משפט פד"ן למרובעים. בדוגמה זו נבחר הסדר $k = 2$ ואז $k = 1$ . זווית הראש הראשונה היא $18 0^{\circ}$ שיוצרת משולשים מנוונים. לכן, לוקחים מכל צלע נקודת אמצע. זווית הראש השנייה היא $9 0^{\circ}$ , לכן על כל צלע במרובע החדש בונים משולש ישרי-זווית ושווה-שוקיים. המרובע האחרון שמתקבל הוא ריבוע.
משפט פד"ן עבור מחומשים. בדוגמה זו נבחר הסדר $k = 1$ ,‏ $k = 2$ ולבסוף $k = 3$ . זווית הראש הראשונה היא $7 2^{\circ}$ , השנייה היא $14 4^{\circ}$ והשלישית היא $21 6^{\circ}$ . בגלל שזווית הראש האחרונה גדולה מ- $18 0^{\circ}$ , בונים משולשים הפונים פנימה שזווית הראש שלהם היא $14 4^{\circ} = 36 0^{\circ} - 21 6^{\circ}$ . המחומש האחרון הוא מחומש משוכלל.

סימונים

לצורך הצגת ההוכחה נשתמש בסימונים הבאים:

נסמן ב- $ℕ$ ,‏ $ℝ$ ו- $ℂ$ את קבוצת המספרים הטבעיים, הממשיים והמרוכבים בהתאמה. המספרים $n$ , $k$ ו- $j$ ישמשו כמספר טבעי כללי. $i$ יסמן את היחידה המדומה.

נסמן ב- $ℂ^{n}$ את המרחב הוקטורי מממד $n$ של וקטורי עמודה מרוכבים.

מסמנים את וקטור העמודה $\vec{e} \in ℂ$ להיות:

$\vec{e} : = (\begin{matrix} 1 / n \\ ⋮ \\ 1 / n \end{matrix})$

לבסוף, נסמן ב- $I$ את מטריצת היחידה מגודל $n \times n$ וב- $S$ להיות המטריצה מגודל $n \times n$ :

$S : = (\begin{matrix} 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix})$

ניתן להוכיח שלכל וקטור $v \in ℂ^{n}$ ולכל $1 \leq j \leq n$ מתקיים ש- $(S v)_{j} = {\begin{cases} v_{j + 1} & if j \neq n \\ v_{1} & if j = n \end{cases}$ . כלומר $S$ מזיזה את האינדקסים של הוקטור שבו היא מוכפלת באופן ציקלי.

הוכחת המשפט

בניית נוסחה רקורסיבית

מסמנים את הבחירות של $k$ ב- $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n - 2}$ וכן מגדירים $ω : = e^{\frac{i π}{n}}$ .

משכנים את המצולעים $A_{0}, A_{1}, \dots, A_{n - 2}$ במישור המרוכב. מסמנים את קודקודים המצולע $A_{0}$ ב- $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ואת קודקודי המצולע $A_{1}$ ב- $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ .

ניתן להוכיח כי לכל $1 \leq j \leq n - 1$ מתקיים ש- $ω^{k_{1}} (b_{j} - a_{j}) = b_{j} - a_{j + 1}$ . משוואה זו מתקבלת על ידי סיבוב השוק של המשולש שווה-השוקיים בזווית הראש כדי לקבל את השוק השני. על ידי אריתמטיקה והעברת אגפים מקבלים כי $b_{n} = (1 - ω^{k_{1}})^{- 1} (a_{j + 1} - ω^{k_{1}} a_{j})$ . עבור $j = n$ מתקבל באופן דומה $b_{n} = (1 - ω^{k_{1}})^{- 1} (a_{1} - ω^{k_{1}} a_{n})$ .

בסך הכול, אם לוקחים את $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ומציבים אותם בוקטור עמודה $\vec{a}$ ואת $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ומציבים בוקטור עמודה $\vec{b}$ מתקבל ש- $\vec{b} = (1 - ω^{k_{1}})^{- 1} (S - ω^{k_{1}} I) \vec{a}$ .

מסיבה זו, אם מתייחסים לכל מצולע $A_{0}, A_{1}, \dots, A_{n - 2}$ כוקטור עמודה, מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית $A_{j} = (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} (S - ω^{k_{j}} I) A_{j - 1}$ לכל $1 \leq j \leq n - 2$ .

הוכחת שימור מרכז הכובד

מרכז הכובד של מצולע המיוצג כוקטור עמודה $\vec{v}$ ב- $ℂ^{n}$ הוא המכפלה הפנימית $\vec{e} \cdot \vec{v}$ ( $\vec{e}$ וקטור עמודה שכל איבריו $1 / n$ כפי שהוגדר לעיל). ניתן להוכיח כי $\vec{e} \cdot S \vec{v} = \vec{e} \cdot \vec{v}$ לכל $\vec{v}$ כלשהו.

לכן:

$\begin{aligned} \vec{e} \cdot A_{j} = \vec{e} \cdot (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} (S - ω^{k_{j}} I) A_{j - 1} \\ = (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} (\vec{e} \cdot S A_{j - 1} - ω^{k_{j}} \vec{e} \cdot A_{j - 1}) \\ = (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} (\vec{e} \cdot A_{j - 1} - ω^{k_{j}} \vec{e} \cdot A_{j - 1}) \\ = (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} (1 - ω^{k_{j}}) \vec{e} \cdot A_{j - 1} \\ = \vec{e} \cdot A_{j - 1} \end{aligned}$

כלומר, נקודת מרכז הכובד של כל מצולע שווה לנקודת מרכז הכובד של המצולע שלפניו, כנדרש.

הוכחת אי-תלות בסדר בחירת ערכי k

ניתן להוכיח כי לכל מטריצה $M$ ולכל $α, β \in ℂ$ מתקיימת הקומוטטיביות $(M - α I) (M - β I) = (M - β I) (M - α I)$ . בנוסף, מכפלת מספרים מרוכבים היא קומוטטיבית. לכן, על ידי חזרה על הכלל הרקורסיבי $n - 2$ פעמים מתקבל ש:

$\begin{aligned} A_{n - 2} = (\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} (S - ω^{k_{j}} I)) A_{0} \\ = (\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{k_{j}})^{- 1} \prod_{j = 1}^{n - 2} (S - ω^{k_{j}} I)) A_{0} \\ = (\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{j})^{- 1} \prod_{j = 1}^{n - 2} (S - ω^{j} I)) A_{0} \end{aligned}$

כאשר השוויון האחרון נובע מהקומוטטיביות שהוצגה לעיל והעובדה ש- $k$ מקבל את כל הערכים בין $1$ ל- $n - 2$ . בכך מוכיחים ש- $A_{n - 2}$ אינו תלוי בסדר בחירת ה- $k$ -ים.

הוכחה כי המצולע האחרון הוא מצולע משוכלל

ניתן להוכיח כי וקטור כלשהו $\vec{v} \in ℂ^{n}$ הוא מצולע משוכלל אם ורק אם $S^{2} v - S v = ω^{- 1} (S v - v)$ . כלומר, צלע במצולע נוצרת על-ידי סיבוב של $\frac{2 π}{n}$ מעלות מהצלע הקודמת לה. על-ידי העברת אגפים ושימוש בעובדה כי $ω^{- 1} = ω^{n - 1}$ מתקבל התנאי השקול $(S - I) (S - ω^{n - 1} I) \vec{v} = 0$ .

בנוסף, מכיוון ומתקיים שוויון הפולינומים $x^{n} - 1 = (x - 1) (x - ω) (x - ω^{2}) \dots (x - ω^{n - 1})$ , ניתן להציב בו מטריצה מרובעת $M$ לקבל ש- $M^{n} - 1 = \prod_{j = 0}^{n - 1} (M - ω^{j} I)$ .

לבסוף, ניתן להוכיח כי $S^{n} = I$ .

מכל זאת מתקבל כי:

$\begin{aligned} (S - I) (S - ω^{n - 1} I) A_{n - 2} = (S - I) (S - ω^{n - 1} I) (\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{j})^{- 1} \prod_{j = 1}^{n - 2} (S - ω^{j} I)) A_{0} \\ = (\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{j})^{- 1} \prod_{j = 0}^{n - 1} (S - ω^{j} I)) A_{0} \\ = (\prod_{j = 1}^{n - 2} (1 - ω^{j})^{- 1} (\underset{= 0}{\underset{⏟}{S^{n} - I}})) A_{0} \\ = 0 \end{aligned}$

לכן $A_{n - 2}$ הוא מצולע משוכלל.

מש.ל.

מקרים פרטיים

משפט נפוליאון

ערך מורחב – משפט נפוליאון

כאשר $n = 3$ הערך היחיד של $k$ הוא $k = 1$ . כלומר, עבור משולש כלשהו, אם בונים על כל צלע של המשולש משולש שווה-שוקיים שזווית הראש שלו היא $\frac{2 π}{3}$ רדיאנים ( $12 0^{\circ}$ ). משפט פד"ן קובע כי המשולש הנוצר משלושת קודקודי הראש של המשולשים שווי-השוקיים הוא משולש שווה-צלעות.

במקום לבנות על גבי המשולש משולשים שווי שוקיים עם זווית ראש של $12 0^{\circ}$ , ניתן באופן שקול לבנות על גבי צלעות המשולש משולשים שווי-צלעות ולקחת את מרכז הכובד שלהם במקום את קודקוד הראש. זהו למעשה משפט נפוליאון.

משפט ואן אובל

ערך מורחב – משפט ואן אובל

כאשר $n = 4$ , ניתן לבחור ראשית את $k$ להיות $k = 1$ ואז $k = 2$ . כלומר, על כל צלע במרובע בונים משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו היא $\frac{2 π}{4} = \frac{π}{2}$ רדיאנים ( $9 0^{\circ}$ ), ואז על גבי המרובע הנוצר מזוויות הראש לבנות משולשים מנווונים עם זווית ראש של $\frac{2 \cdot 2 π}{4} = π$ רדיאנים ( $18 0^{\circ}$ ), כלומר לקחת את נקודות אמצע הקטע של כל צלע במרובע זה. משפט אוסף נקודות אמצע הצלעות הללו הוא ריבוע.

ראשית, יש לשים לב שלקיחת נקודות אמצע הצלעות של המרובע השני שקול ללקיחת מקבילית וריניון של אותו מרובע. ניתן להוכיח כי מקבילית וריניון היא ריבוע אם ורק אם האלכסונים של המרובע שממנו היא נלקחה שווים ומאונכים זה לזה.

שנית, את השלב הראשון של בניית משולשים שווי-שוקיים עם זווית ראש של $9 0^{\circ}$ אפשר להחליף בבניית ריבועים על הצלעות ולקיחת נקודת מרכז הכובד שלהם.

לאחר שמבצעים את שתי ההחלפות הללו, מתקבל משפט ואן-אובל.