משפט בוטמה

בגאומטריה, משפט בוטמה הוא משפט הנוגע לבניית ריבועים על גבי משולש כלשהו.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי ההולנדי אונה בוטמה.^[1]

נוסח המשפט

נתון משולש כלשהו $△ A B C$ . בונים על גבי הצלע $A B$ את הריבוע $◻ A B D E$ ועל גבי הצלע $A C$ את הריבוע $◻ A C F G$ כך ששני הריבועים פונים אל חוץ המשולש.

מותחים קטע $D F$ ומסמנים ב- $M$ את נקודת האמצע שלו ( $D M = M F$ ).

משפט בוטמה קובע כי בהינתן שהנקודות $B$ ו- $C$ קבועות, הנקודה $M$ אינה תלויה בבחירת הנקודה $A$ , עד כדי בחירת חצי המישור (מעל $B C$ או מתחתיו).

כלומר, $M$ תהיה באותו חצי המישור של $A$ ביחס לישר $B C$ , אך מלבד זאת אינה תלויה במיקומו המדויק של $A$ .

יתר על כן, הנקודה $M$ היא הנקודה היחידה בחצי מישור זה המקיימת את התכונות הבאות:

$M B = M C$
$∠ B M C = 9 0^{\circ}$

כלומר, המשולש $△ B M C$ הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.

הוכחות

הוכחה טריגונומטרית

מסמנים:

$A B = D B = c$ , $A C = F C = b$ , $B C = a$
$∠ A B C = α$ , $∠ A C B = β$

באמצעות משפט הסינוסים במשולש $△ A B C$ ניתן להגיע לשוויון $c \sin α = b \sin β$ . באופן דומה, באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש $△ A B C$ ניתן להגיע לשוויון $c \cos α + b \cos β = a$ .

כעת, מורידים שלושה אנכים אל הישר $B C$ מהנקודות $D$ , $M$ ו- $F$ שפוגשות את הישר $B C$ בנקודות $N$ , $O$ ו- $P$ בהתאמה. מאחר שהישרים $D N$ ו- $P F$ מאונכים לאותו ישר, הם בהכרח מקבילים זה לזה, משמע $◻ N P F D$ הוא טרפז ישר-זווית.

על ידי חישובים של זוויות צמודות וסכום זוויות במשולש מקבלים ש- $∠ N D B = α$ ו- $∠ C F P = β$ . מאחר שהמשולשים $△ N D B$ ו- $△ C F P$ הם ישרי זווית, מתקבל ש- $N B = c \sin α$ ו- $C P = b \sin β$ , אך כאמור $c \sin α = b \sin β$ , משמע $N B = C P$ .

בנוסף, הנקודה $M$ חוצה את הקטע $D F$ ו- $M O$ מקבילה לשני בסיסי הטרפז $D N$ ו- $P F$ , משמע ש- $M O$ הוא קטע אמצעים בטרפז $◻ N P F D$ , ולכן בהכרח הוא חוצה את הצלע השנייה, כלומר $N O = O P$ . על ידי חיסור קטעים שווים מתקבל ש- $B O = O C$ .

כעת, על-פי נוסחת אורך קטע אמצעים בטרפז:

$O M = \frac{D N + F P}{2} = \frac{c \cos α + b \cos β}{2} = \frac{a}{2}$ .

כלומר, הקטע $O M$ מאונך ל- $B C$ , חוצה אותו ושווה למחצית אורכו. כל זה מתקיים רק במקרה בו המשולש $△ B M C$ הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.

מ.ש.ל.

הערה חשובה: ההוכחה לעיל נכונה רק כאשר הזוויות $α$ ו- $β$ הן זוויות חדות. אם אחת מהן קהה, אז הריבוע הנשען עליה יורד מתחת לישר $B C$ . במקרה זה, המשוואות הטריגונומטריות נשארות זהות, אך ההצדקה שלהן משתנה מעט.

הוכחה במישור המרוכב

מציבים את תרשים הבעיה במישור המרוכב כך שהנקודה $B$ נמצאת ב- $0$ . מסמנים את הנקודות $C$ ו- $A$ ב- $z_{1}$ ו- $z_{2}$ בהתאמה.

מאחר שהנקודה $D$ נמצאת באותו מרחק מ- $B$ כמו $A$ ובזווית של $9 0^{\circ}$ ביחס ל- $A$ נגד כיוון השעון, היא נמצאת ב- $i z_{2}$ .

הקטע המכוון $C A$ שווה ל- $z_{2} - z_{1}$ . מאחר שהנקודה $F$ נמצאת באותו מרחק מ- $C$ כמו $A$ ובזווית של $9 0^{\circ}$ ביחס ל- $A$ עם כיוון השעון, הקטע המכוון $C F$ שווה ל- $- i (z_{2} - z_{1})$ , משמע $F$ נמצאת ב- $z_{1} - i (z_{2} - z_{1})$ .

הנקודה $M$ נמצאת במרכז הקטע $D F$ לכן:

$M = \frac{1}{2} D + \frac{1}{2} F = \frac{1}{2} i z_{2} + \frac{1}{2} (z_{1} - i (z_{2} - z_{1})) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i) z_{1}$ .

כלומר, $M$ תלויה רק ב- $z_{1}$ שהיא הנקודה $C$ , ולא תלויה ב- $z_{2}$ שהיא הנקודה $A$ (היא כן תלויה ב- $B$ שנבחרה שרירותית להיות ב- $0$ ).

ניתן לשים לב כי $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\frac{π}{4} i}$ , לכן $B M$ נמצאת בזווית של $4 5^{\circ}$ ביחס ל- $B C$ ואורכה קטן פי $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ממנה. כל זאת יכול לקרות רק כאשר המשולש $△ B M C$ הוא ישר-זווית ושווה-שוקיים.^[2]

מ.ש.ל.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט בוטמה בוויקישיתוף

גרסה אינטראקטיבית של משפט בוטמה באתר של Wolfram Demonstrations.
Three pretty geometric theorems, proved by complex numbers, סרטון בערוץ "Jim Simons", באתר יוטיוב, Jan 12, 2022

ראו גם

הערות שוליים

↑ Bottema's Theorem, www.cut-the-knot.org
↑ Atara Shriki, Back to TREASURE ISLAND, The Mathematics Teacher 104, 2011, עמ' 658–664

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט בוטמה41938542Q96373852

[1] Bottema's Theorem, www.cut-the-knot.org

[2] Atara Shriki, Back to TREASURE ISLAND, The Mathematics Teacher 104, 2011, עמ' 658–664

[1]

[2]