משפט ניוטון על עקומים סגורים

במתמטיקה, משפט ניוטון על עקומים סגורים (באנגלית: Newton's theorem on ovals) קובע שהשטח הנחתך על ידי קו ישר מתחום מישורי קמור אינו יכול להיות פונקציה אלגברית של המקדמים המגדירים את הישר.

אייזק ניוטון קבע את הטענה הזו כלמה 28 של החלק השישי של הכרך הראשון של ספרו פרינקיפיה, והשתמש בה כדי להראות שהמיקום של כוכב לכת במסלולו אינו יכול להיות פונקציה אלגברית של הזמן (לפי החוק השני של קפלר, השטח שמקצה הרדיוס-וקטור של הכוכב פרופורציוני לזמן). בשל ההוכחה המחוכמת והפשוטה, המסתמכת במידת מה על הטופולוגיה של משטחי רימן (שיומצאו באמצע המאה ה-19), טענה זו לא התקבלה על דעתם של המתמטיקאים בני דורו של ניוטון, וגם אחר-כך עוררה מחלוקת. ניוטון ניסח את המשפט עבור "ovals", כלומר תחומים מישוריים קמורים, אבל לא הציג את ההנחות שלו לגבי העקום התוחם, ואף נדרש להבהיר אותן במהדורה השנייה של הספר. לייבניץ סבר שהלמניסקטה של יאקוב ברנולי מהווה דוגמה נגדית למשפט, אבל זה מפני שהיא חותכת את עצמה. ארנולד ו-Vasilyev (ב-1989) הצביעו על כך שאם "oval" פירושו "עקום קמור וגזיר אינסופית", אז הטענה של ניוטון נכונה והטיעון שלו מכיל את הצעדים ההכרחיים של הוכחה ריגורוזית.

הטענה

הלמה של ניוטון (בתרגום מן המקור בלטינית) קובעת כדלקמן:

"לא קיים תחום (oval) אשר השטח הנחתך ממנו על ידי קו ישר ניתן לחישוב באופן אוניברסלי באמצעות משוואות כלשהן בעלות מספר סופי של איברים וממדים סופיים".

בשפה מתמטית מודרנית, ניוטון למעשה הוכיח את המשפט הבא:

"לכל תחום מישורי המוגבל על ידי עקום קמור וחלק (חלק פירושו גזיר אינסוף פעמים), שטח הגזרה הנחתכת מן התחום על ידי ישר שמשוואתו $ax+by=c$ אינו יכול להיות פונקציה אלגברית של $a,b,c$ (הווה אומר, לא קיים פולינום $F$ עבורו $F(a,b,c,V)=0$ , כאשר $V$ שטח הגזרה)."

כלומר לפי המשפט של ניוטון, אם קיימת פונקציה אלגברית של המקדמים המבטאת את השטח התחום במקטע של העקום, אז בהכרח יש לו singular points – נקודות בהם הוא אינו חלק אלא גזיר רק מספר סופי של פעמים.

כפי שניוטון הראה, הטענה נכונה אפילו אם מדובר רק בישרים העוברים דרך הראשית. במקרה כזה הישר מוגדר על ידי הזווית שלו ביחס לציר $x$ , והלמה קובעת ששטח הגזרה אינו פונקציה אלגברית של קוסינוס הזווית. אם מניחים שהעקום עצמו מוגדר על ידי משוואה אלגברית, אז נקודת החיתוך של הישר עם העקום היא פונקציה אלגברית של המקדמים, ואז אפשר לנסח את הטענה גם כך: "שטח הגזרה, עם בסיס קבוע, אינו פונקציה אלגברית של הנקודה הקובעת את הגזרה". זהו הניסוח שהיה נחוץ לניוטון על-מנת להראות שאין קשר אלגברי בין הזמן לבין מקומו של כוכב לכת במסלולו.

לדוגמה, הלמה של ניוטון קובעת ששטח הגזרה של עיגול אינו תלוי אלגברית בקוסינוס הזווית של הגזרה. אכן, שטח הגזרה פרופורציוני לזווית עצמה, והקוסינוס באמת אינו פונקציה אלגברית של הזווית.

ההוכחה של ניוטון

אם העקום הוא מעגל שמרכזו בראשית, אז הספירלה שנבנתה על ידי ניוטון היא הספירלה הארכימדית

ניוטון קבע את ראשית הצירים $P$ כנקודה פנימית של העקום, והתבונן בספירלה של הנקודות $(r,\theta )$ בקואורדינטות קוטביות אשר המרחק שלהן $r$ מ-$P$ הוא השטח המוקצה מהעקום הקמור על ידי הגזרה התחומה בקווים הישרים היוצאים מ-$P$ בזוויות 0 ו-$\theta$ . בכך פעם שהישר מסתובב ועובר סיבוב שלם, השטח המצטבר גדל בקבוע. אם כך, עבור כל שיפוע $m$ של ישר $y=mx$ (העובר דרך $P$), יש לספירלה הזאת אינסוף נקודות חיתוך עם הישר הזה, ולכן $r$ לא יכול להיות פונקציה אלגברית של $m$ . זה נובע מהסתכלות על $r(m)$ כעל פונקציה רב-ערכית – פונקציה היא אלגברית אם ורק אם הפונקציה ההופכית לה היא אלגברית, וכיוון שהפונקציה (ההופכית) $m(r)$ מקבלת כל ערך אינסוף פעמים, יש לה מספר אינסופי של שורשים. אולם לכל פונקציה פולינומית מספר השורשים שלה לא יכול לעלות על הדרגה של הפולינום, ולכן השטח שנחתך על ידי ישר כלשהו לא יכול להיות פונקציה אלגברית של המקדמים של הישר.

כהערת שוליים יש לציין שבטיעון המקורי שלו ניוטון הגדיר את הספירלה כעקום הנוצר על ידי נקודה הנעה לאורך ישר המסתובב בקצב קבוע סביב נקודה, ובקצב תנועה רדיאלי שפרופורציוני ל-${\tfrac {1}{2}}R(\theta )^{2}d\theta$ כאשר $R(\theta )$ הוא אורך הרדיוס מנקודה $P$ בזווית $\theta$ בעקום המקורי. הגדרה זו שקולה לגמרי להגדרה הקודמת ($r(\theta )$ הוא בדיוק שטח הגזרה בעקום המקורי), אולם קל יותר להבין בה מדוע הטיעון הזה לא יכול לשמש להוכיח למשל כי $r(\theta )$ לא אלגברית – $\theta$ היא פונקציה מונוטונית עולה, והיא לא חוזרת לערכה ההתחלתי בכל פעם שהישר משלים סיבוב של $2\pi$ רדיאנים, וזאת בניגוד לשיפוע, שערכו כן מחזורי. אם ניקח למשל הדוגמה של מעגל, אז אם מגדירים את $\theta$ כך שתחזור לערכה ההתחלתי אחרי סיבוב שלם, גם השטח יחזור לערכו ההתחלתי, שכן $d\theta$ יהיה שלילי בנקודת הקפיצה, כך שלא ניתן לטעון לאי תלות אלגברית.

ניוטון הראה לפיכך שמהסגירות והחלקות של העקום נובעת אי תלות אלגברית שלו בשטח שמוקצה על ידי ישר עם פרמטרים מסוימים. הדרישה לחלקות העקום היא הכרחית – הטענה שקיום אינסוף שורשים גורר אי-אלגבריות נובעת מהחלקות של הפונקציה; אחרת הספירלה עשויה להיות איחוד אינסופי של חתיכות של עקומים אלגבריים שונים. זה מה שקורה במגוון הדוגמאות הנגדיות למשפט של ניוטון בעבור עקומים לא חלקים. למשל, בלמניסקטה של ברנולי $y^{2}=x^{2}-x^{4}$ , שטח הגזרה (המוגבל בין העקום, ציר $x$ והישר המחבר את הראשית עם הנקודה $(x,y)$) הוא ${\frac {y(2+x^{2})}{6x}}$ , וזו כמובן פונקציה אלגברית. במקרה זה ההוכחה אינה תקפה, משום שכאשר הישר מסתובב, ערך השטח עובר לענף אנליטי אחר של הפונקציה, היות שהעקום אינו חלק בראשית.

מקורות

• Peter Pesic, "The Validity of Newton's Lemma 28", Historia Mathematica, Volume 28, Issue 3, August 2001, Pages 215-219 [1].
• V.I. Arnol'd and V.A. Vasile'ev, "Newton's Principia read 300 years later", Notices AMS 1989 Vol 36(9), 1148-1154 [2].
• (V.I.Arnol'd ,Kepler's Second Law and the Topology of Abelian Integrals (According to Newton