משפט המספרים הראשוניים

בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב-$\pi (x)$ את כמות המספרים הראשוניים שאינם עולים על $x$ (פונקציית המספרים הראשוניים).

משפט המספרים הראשוניים קובע כי $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}$ (כאשר $\ln(x)$ הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר $x$ גדול, כמות הראשוניים שאינם עולים על $x$ הוא (בקירוב סביר) ${\frac {x}{\ln(x)}}$ . את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי ז'אק אדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.

גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח כי ${\tfrac {1}{4}}<{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}<4$ . צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 כי ${\tfrac {7}{8}}<{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}<{\tfrac {9}{8}}$ , ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, אדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את תוצאתו של צ'בישב, כבדרך אגב).

פונקציית המספרים הראשוניים וקירובים שונים

שיטתו של רימן, שעליה בנויות כל ההוכחות האנליטיות למשפט המספרים הראשוניים, מוליכה באופן טבעי לקירוב $\pi (x)\sim {\text{Li}}(x)$ , כאשר ${\text{Li}}(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}dt$ פונקציית האינטגרל הלוגריתמי.

מבחינת אסימפטוטיקה מסדר ראשון אין הבדל בין הקירוב הזה למנה ${\frac {x}{\ln(x)}}$ , משום שהיחס בין שתיהן שואף ל-1. עם זאת, גורם השגיאה במשפט המספרים הראשוניים הוא מוקד עניין מרכזי בתורת המספרים (ראו השערת רימן), והקירוב באמצעות האינטגרל הלוגריתמי ההפוך טוב בהרבה.

רימן וגאוס האמינו שלכל ערך גדול מספיק של $x$ מתקיים $\pi (x)<{\text{Li}}(x)$, והנתונים המספריים הידועים תומכים כולם בהשערה כזו. אלא שליטלווד הראה שכיוון אי-השוויון בין שתי הפונקציות מתהפך אינסוף פעמים. סטנלי סקיוז הוכיח ב-1933 שהמקום הראשון שבו ההיפוך הזה קורה הוא לפני המספר העצום $10^{10^{10^{34}}}$ (וגם זאת בהנחה שהשערת רימן נכונה; ללא ההשערה הוא הוכיח ב-1955 את החסם $10^{10^{10^{963}}}$). מאז השתפר החסם כמה פעמים, והוא עמד בשנת 2000 על $1.4\cdot 10^{316}$ (Bays-Hudson).

מאידך, Rosser ו-Schonenfeld הוכיחו ב-1962 שלכל $x\geq 17$ מתקיים ${\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)$ . את ${\text{Li}}(x)$ אפשר לקרב (קירוב משתפר והולך) באמצעות סכומים סופיים מהצורה

${\text{Li}}(x)\approx {\frac {x}{\ln(x)}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{\ln(x)^{k}}}={\frac {x}{\ln(x)}}\left(1+{\frac {1!}{\ln(x)}}+\cdots +{\frac {n!}{\ln(x)^{n}}}\right)$

טבלה המשווה את הפונקציות:

$x$	$\pi (x)$	$\left\lfloor \pi (x)-{\frac {x}{\ln(x)}}\right\rfloor$	${\Big \lfloor }{\text{Li}}(x)-\pi (x){\Big \rfloor }$	${\frac {x}{\pi (x)}}$
101	4	0	2	2.500
102	25	3	5	4.000
103	168	23	10	5.952
104	1,229	143	17	8.137
105	9,592	906	38	10.430
106	78,498	6,116	130	12.740
107	664,579	44,159	339	15.050
108	5,761,455	332,774	754	17.360
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.670
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.980
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.280
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.900
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.200
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.510
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,392	3,214,632	35.810
4 ·1016	1,075,292,778,753,150	28,929,900,579,949	5,538,861	37.200

ניתן גם לראות על פי המשפט כי $\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0$ , כאשר $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ הרווח בין המספרים הראשוניים.

הכללות

מסמנים ב-$\pi _{k}(x)$ את מספרם של המספרים הקטנים מ-$x$ , שיש להם בדיוק $k$ גורמים ראשוניים. גאוס שיער כי $\pi _{k}(x)\sim {\frac {x\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}^{k-1}}{(k-1)!\ln(x)}}$ . השערה זו הוכחה על ידי לנדאו ב-1900. על הפונקציה $\omega (n)$ הסופרת כמה גורמים ראשוניים שונים יש למספר $n$ , ידוע שליחס ${\frac {\omega (n)-\log {\bigl (}\log(n){\bigr )}}{\sqrt {\log {\bigl (}\log(n){\bigr )}}}}$ יש התפלגות נורמלית כאשר $n$ נבחר באקראי מהמספרים הקטנים מ-$N$ , ו-$N$ שואף לאינסוף (זהו משפט של ארדש ו-Kac מ-1940; הארדי ורמנוג'אן הוכיחו שהיחס חסום).

משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל-$x$ . בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו $x$ ומתחיל ב-$y$ , כלומר את $\pi (x+y)-\pi (y)$ , במיוחד כאשר $x$ אינו גדול ביחס ל-$y$ . האתגר הוא להוכיח את הקירוב $\pi (x+y)-\pi (y)\sim {\frac {x}{\log(y)}}$ כאשר $x$ קטן יחסית. אם $x=\lambda y$ תוצאה זו נובעת מן המשפט. השערת רימן, השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור $x={\sqrt {y}}\log(y)$ . ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור $x={\sqrt[{11}]{y^{7}}}$ . סלברג הוכיח את הקירוב עבור $x=\log(y)^{2}$ כמעט לכל $y$ , אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל $y$ .

קירובים עבור המספר הראשוני ה-n-י

כתוצאה ממשפט המספרים הראשוניים, מתקבל ביטוי אסימפטוטי עבור המספר הראשוני ה-$n$-י, שאותו מקובל לסמן $p_{n}\approx n\ln(n)$ (היחס בין הביטויים שואף ל-1). את הקירוב אפשר לשפר ל-

${p_{n}=n\ln {\big (}n\ln(n){\bigr )}+{\frac {n}{\ln(n)}}\left(\ln \left({\tfrac {\ln(n)}{n}}\right)-2-{\frac {\ln {\bigl (}\ln(n){\bigr )}}{2\ln(n)}}{\Big (}\ln {\bigl (}\ln(n){\bigr )}-6{\Big )}\right)+O\left({\frac {n}{\ln(n)^{2}}}\right)}$

לפי משפט רוסר (Rosser) לכל $n$ מתקיים $p_{n}>n\ln(n)$ ; למעשה עבור $n\geq 6$ מתקיים אי-השוויון

$n{\Big (}\ln {\bigl (}n\ln(n){\bigr )}-1{\Big )}<p_{n}<n\ln {\bigl (}n\ln(n){\bigr )}$

על ההוכחה האלמנטרית

למרות שמשפט המספרים הראשוניים הוכח בסוף המאה ה-19, היו מתמטיקאים שחשו חוסר נחת לגבי ההוכחה, שהשתמשה בכלים מתורת הפונקציות המרוכבות – שממבט ראשון אינה שייכת לעניין – וחיפשו הוכחה ישירה יותר.

ב-1948 הצליח אטלה סלברג להוכיח את הקירוב $\sum _{p<x}\ln(p)^{2}+\sum _{pq<x}\ln(p)\ln(q)=2x\ln(x)+O(x)$. תוך זמן קצר מצאו סלברג ופאול ארדש דרך להוכיח מאי-השוויון הזה את משפט המספרים הראשוניים, באופן אלמנטרי (כלומר, כזה שאינו משתמש בתורת הפונקציות המרוכבות). למרות שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.

שני המתמטיקאים היו שונים זה מזה באופיים באופן כמעט קיצוני: ארדש ראה במתמטיקה פעילות קהילתית, וכתב בימי חייו עם כ-500 מחברים-שותפים. סלברג, שהעדיף בניית תאוריה על פתרון בעיות, כתב את כל מאמריו לבדו (למעט אחד, שנכתב עם Sarvadaman Chowla וביוזמתו). ארדש, שהיה מבוגר בכמה שנים והידוע יותר מבין השניים, ראה בהוכחה הישג משותף, והציע לפרסם ב-Annals of Mathematics שני מאמרים: בראשון יתאר סלברג את אי-השוויון שלו, ובשני יסבירו שניהם כיצד אפשר להסיק ממנו שהיחס בין שני ראשוניים עוקבים שואף ל-1, וכיצד אפשר להסיק מטענה זו את משפט המספרים הראשוניים. הרמן וייל, שהעדיף את סגנונו התאורטי של סלברג, מנע את קבלת המאמר המשותף ל-Annals, שפרסם בסופו של דבר הוכחה שכתב סלברג ועקפה את תרומתו של ארדש. המחלוקת בשאלה מי אחראי להוכחה האלמנטרית – סלברג לבדו או סלברג וארדש – לא שככה עוד זמן רב אחר-כך.

מקורות

• The Elementary Proof of the Prime Number Theorem, J. Spencer and R. Graham, The Mathematical Intelligencer, Vol. 31(3), 2009.