פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
במתמטיקה, פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא פונקציה מתמטית חשובה, הידועה בעיקר בזכות משפט המספרים הראשוניים. היא מוגדרת להיות:
- $ {\text{li}}(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}} $
לפונקציה $ {\tfrac {1}{\ln(t)}} $ יש סינגולריות בתחום $ t=1 $ , אז הפונקציה מוגדרת במפורש לכל $ x<1 $ , ומוגדרת לכל $ x>1 $ על ידי עקרון הערך של קושי, על ידי:
- $ {\text{li}}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int \limits _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int \limits _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right) $
פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך
פונקציית האינטרגל הלוגריתמי או פונקציית האינטגרל הלוגריתמי של אוילר מוגדרת להיות:
- $ {\text{Li}}(x)={\text{li}}(x)-{\text{li}}(2) $
או בצורה אינטגרלית:
- $ {\text{li}}(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}} $
פונקציה זו אינה בעלת נקודה סינגולרית. פונקציה זו יותר מדויקת בחישוב כמות של מספרים ראשונים הקטנים מ-$ x $ .
הצגות נוספות של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי
הצגה על ידי פונקציית האינטגרל האקספוננטי
לפונקציה יש קשר עם פונקציית האינטגרל האקספוננטי על ידי המשוואה:
- $ {\text{li}}(x)={\text{Ei}}{\bigl (}\ln(x){\bigr )} $
שנפתרת על ידי כל מספר חיובי. קשר נוסף הוא על ידי קבוע אוילר-מסקרוני:
- $ {\text{li}}(e^{u})={\text{Ei}}(u)=\gamma +\ln {\bigl (}|u|{\bigr )}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n\cdot n!}}\quad :u\neq 0 $
חישוב נוסף של פונקציית האינטגרל הלוגריתמי היא:
- $ {\text{li}}(x)=\gamma +\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{n-1}{\frac {\ln(x)^{n}}{n!}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2k+1}} $
הצגה על ידי הרחבה אסימפטוטית
ניתן להציג את פונקציית האינטגרל הלוגריתמי גם על ידי הרחבה אסימפטוטית שיש לו. למשל:
- $ {\text{li}}(x)=O\left({\frac {x}{\ln(x)}}\right) $
כאשר O מייצג את סימן O גדולה. רישום מלא של הפונקציה על ידי הרחבה אסימפטוטית הוא:
- $ {\text{li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{\ln(x)^{k}}} $
או:
- $ {\frac {{\text{li}}(x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}\sim 1+{\frac {1}{\ln(x)}}+{\frac {2}{\ln(x)^{2}}}+{\frac {6}{\ln(x)^{3}}}+\cdots $
רישום זה גורר לרישום הבא:
- $ {\text{li}}(x)-{\frac {x}{\ln(x)}}=O\left({\frac {x}{\ln(x)^{2}}}\right) $
הערה, הרישום האחרון כסדרה אינו מתכנס, אז חשוב לסדרה תהיה מספר סופי של אברים.
ערכים מיוחדים של הפונקציה
לפונקציה יש שורש חיובי יחיד, הידוע בתור קבוע רמנוג'אן-סולדר, אשר קרוב שלה הוא $ x\approx 1.4513692348\ldots $ . בנוסף לכך, ערך הפונקציה בנקודה $ x=2 $ הוא גם $ -{\bigl (}\Gamma {\bigl (}0,-\ln(2){\bigr )}+\pi i{\bigr )} $ כאשר $ \Gamma (a,x) $ היא פונקציית גמא הלא-שלמה.