תוכנית לנגלנדס

תוכנית לנגלנדס היא מארג של משפטים והשערות מרחיקות לכת המקשרות תחומים מרכזיים בתורת המספרים האלגברית ובתורת ההצגות. את התוכנית הציע רוברט לנגלנדס ב-1967, במכתב לאנדרה וייל, והיא מהווה מסגרת לחלק נכבד מן המחקר המודרני בתורת המספרים. על יצירת התוכנית זכה רוברט לנגלנדס בפרס וולף למתמטיקה ב-1996, בפרס נמרס למתמטיקה ב-2006 ובפרס אבל היוקרתי למתמטיקה ב-2018.

הרעיון המרכזי של תוכנית לנגלנדס הוא לשייך יצירים אנליטיים (פונקציות L, שכמו אחותן המוכרת פונקציית זטא של רימן, הן טורי דיריכלה עם מכפלת אוילר מתאימה), לעצמים האלגבריים שאותם חוקרים.

מבוא

חבורת גלואה האבסולוטית

התוכנית סובבת סביב חבורות גלואה האבסולוטיות של השדות ה"אריתמטיים": השדות המקומיים והשדות הגלובליים. חבורת גלואה האבסולוטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k} של שדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} מקודדת בתוכה את כל ההרחבות הסופיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k} , וקושרת את המושגים הבסיסיים של תורת המספרים: אידיאלים ראשוניים, הערכות, פונקציות L, תבניות מודולריות, ועוד. לכל אלה יש מבנה פנימי חבוי, הנחשף כאשר מתבוננים בהם מנקודת המבט של חבורת גלואה האבסולוטית.

אחת המטרות של תורת המספרים המודרנית, ואפשר שהמרכזית שבהן, היא להבין את המבנה של חבורות גלואה האבסולוטיות. אלו חבורות פרו-סופיות, ולכן אפשר לפענח אותן באופן מלא דרך ההצגות מממד סופי - ההומומורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho : \Gamma_k \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k} הוא שדה מספרים, אפשר להצמיד לכל הצגה כזו פונקציית L של ארטין, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ s\mapsto L(s,\rho)} , כאשר s הוא משתנה מרוכב.

תורת שדות המחלקה

ההישג העיקרי של תורת שדות המחלקה, שייסד הילברט, הוא התיאור של המנה האבלית המקסימלית של חבורת גלואה האבסולוטית - האבליזציה שלה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k/[\Gamma_k,\Gamma_k]} (כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [\Gamma_k,\Gamma_k]} היא תת-חבורת הקומוטטורים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k} ). מסמנים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k^{ab}} את "הסגור האבלי" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k} : זהו השדה הגדול ביותר שחבורת גלואה שלו מעל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k} היא אבלית; כך יוצא שחבורת גלואה של ההרחבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k^{ab}/k} היא האבליזציה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k} .

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} שדה מקומי, חבורת גלואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Gal}(k^{ab}/k)} איזומורפית באופן קנוני להשלמה הפרו-סופית של החבורה הכפלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k^{\times} = k - \{0\}} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} שדה גלובלי, חבורת גלואה של הסגור האבלי איזומורפית ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{A}_k^{\times}/k^{\times}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{A}_k} הוא חוג האדלים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ k} (החוג הזה אורז יחד את כל ההשלמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {k}_p} של השדה k).

פונקציות L

כנקודת המוצא של התוכנית אפשר לראות את חוק ההדדיות של אמיל ארטין, המכליל את חוק ההדדיות של גאוס על שאריות ריבועיות. החוק של ארטין חל על הרחבות גלואה אבליות של שדות מספרים, ומתאים פונקציות מיוחדות הנקראת "פונקציות L של ארטין" להצגות חד-ממדיות של חבורת גלואה של ההרחבה. בנוסף לזה, החוק מציג התאמה בין פונקציות L אלה, לפונקציות L אחרות הקרויות "פונקציות L של דיריכלה".

ההתאמה של ארטין עוסקת, כאמור, דווקא בהרחבות עם חבורת גלואה אבלית. עם זאת, את פונקציות ה-L של ארטין אפשר להגדיר גם כאשר החבורה אינה אבלית, לכל הצגה אי-פריקה של החבורה.

באותו אופן, להצגות אוטומורפיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{A}_k^{\times}/k^{\times}} , מתאימות פונקציות L משלהן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L(s,\pi)} ; בזכות הפירוק של פונקציות אלה למרכיבים מקומיים (המתאימים להשלמות של k לשדות מקומיים), התכונות האנליטיות שלהן מובנות היטב.

הצגות אוטומורפיות

הרעיון המרכזי שהציע לנגלנדס הוא למצוא את ההכללה המתאימה לפונקציות L של דיריכלה, באופן שאפשר יהיה להשוות אותן לפונקציות L של ארטין לכל הרחבת גלואה, לאו דווקא אבלית.

זמן רב קודם לכן, הצליח אריך הקה לשייך פונקציית L של דיריכלה לכל תבנית אוטומורפית (שהיא פונקציה חלקה על חצי המישור העליון, המקיימת משוואות פונקציונליות מסוימות). לנגלנדס הכליל את הבניה הזו להצגות אוטומורפיות קספידליות, שהן הצגות אי-פריקות מסוימות מממד אינסופי של החבורה הליניארית הכללית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n} מעל חוג האדלים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{A}_{\mathbb{Q}}} של הרציונליים.

לנגלנדס הצמיד פונקציות L להצגות האוטומורפיות האלה, ושיער שכל פונקציית L של ארטין המתאימה להצגה מממד סופי של חבורת גלואה האבסולוטית של שדה מספרים - שווה לפונקציית L המתאימה להצגה אוטומורפית קספידלית. זוהי "השערת ההיפוך" של לנגלנדס.

התאמת לנגלנדס

התיאור שניתן לעיל לחבורת המנה האבלית המקסימלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k/[\Gamma_k,\Gamma_k]} שקול להבנת ההצגות האבליות של החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k} עצמה, כלומר, ההצגות החד-ממדיות שלה. לנגלנדס הציע את ההמשך הטבעי לגישה זו, היינו, ניסיון לתאר את ההצגות ה-n ממדיות, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n>1} . באופן תמציתי ולא מדויק, השערות לנגלנדס מציעות התאמה טבעית בין ההצגות ה-n-ממדיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k} לבין הצגות אוטומורפיות (מממד אינסופי) של החבורה הליניארית הכללית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(k)} במקרה המקומי, ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{A}_k)} במקרה הגלובלי. בנוסף לכך, ההתאמה אמורה לשמור על פונקציות L, דהיינו (על-פי ההשערה), פונקציית L המתאימה להצגה של חבורה גלואה, תהיה שווה לפונקציית L המתאימה להצגות האדליות של החבורה הליניארית הכללית.

מבין פונקציות L האחרונות, כל אלו המוכרות למתמטיקאים נבנות כטרנספורמי מלין של תבניות מודולריות, המתארות אספקט מסוים של קוהומולוגיית דה-רם של מרחבים מודולריים מסוימים; באותה עת, הצגות גלואה מקודדות את ה-etale cohomology של אותם מרחבים.

במקרה החד-ממדי, n=1, תיאור זה הוא הבסיס לגישה האנליטית אל תורת שדות המחלקה, הידועה בשם "התזה של טייט". לכן אפשר לראות בהתאמת לנגלנדס, מחד, תורת שדות מחלקה לא אבלית, ומאידך, פרמטריזציה אריתמטית של הצגות אדמיסיביליות (במקרה המקומי) או אוטומורפיות (במקרה הגלובלי).

ההשערה המקומית

חבורת וייל-דלין

נניח ש-F הוא שדה מקומי. בהמשך לתיאור הקודם על ההצגות המרוכבות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_F} , כלומר, ההומומורפיזמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_F \rightarrow \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})} , אפשר ללמוד את החבורה גם דרך הצגות אל הסגור האלגברי של שדה המספרים ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell} -אדיים, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell} שונה מן המאפיין של שדה השאריות של F. לצורך כך הציג אנדרה וייל חבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W_F} עם הומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W_F \rightarrow \Gamma_k} שיש לו תמונה צפופה, ובאופן כזה כל הצגה (רציפה) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_F} היא גם הצגה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W_F} . כדי להתאים את התמונה גם להתנהגות של שדות מקומיים ארכימדיים, פייר דלין (Pierre Deligne) הגדיר את "חבורת וייל-דלין" הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W'_F} , שחבורת וייל היא חבורת מנה שלה.

השערת לנגלנדס המקומית עוסקת בהצגות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W'_F} .

פרטי ההשערה המקומית

ההשערה המקומית של לנגלנדס מתייחסת להתאמה בין הצגות n-ממדיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ W'_F} , כאשר F שדה מקומי, לבין הצגות "מותרות" (admissible representations) מרוכבות אי-פריקות של החבורה הליניארית הכללית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(F)} .

ההתאמה בין הצגה n-ממדית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho = \rho_\pi} של חבורת וייל-דלין לבין הצגה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi = \pi_{\rho}} של חבורת המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(F)} , אמורה לקיים את התכונות הבאות:

1. עבור n=1, ההתאמה נתונה על ידי האיזומורפיזם הסטנדרטי של תורת שדות המחלקה המקומית.
2. הקרקטר המרכזי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi_{\rho}} מתאים, תחת ההתאמה של ממד 1, לדטרמיננטה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \det(\rho)} .
3. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi} קרקטר של F, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho_{\pi \otimes \chi} = \rho \otimes \chi} .
4. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi_{\rho}} היא אינטגרבילית-בריבוע אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho(W'_F)} איננה מוכלת באף תת-חבורת לוי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{C})} .
5. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi_{\rho}} "מאולפת" (מגדירה פונקציות בחיתוך המרחבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L^{2+\epsilon}} ) אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \rho(W_F)} חסומה.
6. אם H חבורה רדוקטיבית קשירה עם הומומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(F) \rightarrow \operatorname{GL}_n(F)} שיש לו גרעין וקו-גרעין קומוטטיביים, אז יש התאמה דומה עבור ההצגות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(F)} , המתיישבת עם ההתאמות עבור חבורות המטריצות.

בניסוח זה של ההשערה לא מופיעות פונקציות L. השערה נוספת (שניסחו לנגלנדס ו-Jacquet ב-1970, ודלין ב-1973), קובעת גם התאמה בין פונקציות L של המרכיבים בהתאמה הקודמת, ובפרט אמור להתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ L(s,\rho_\pi \otimes \rho_{\pi'}) = L(s,\pi \times \pi')} לכל שתי הצגות אי-פריקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \pi,\pi'} של חבורות המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(F)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_{n'}(F)} , בהתאמה.

מעמדה של ההשערה המקומית

מאז הועלתה על ידי לנגלנדס ב-1970, נפתרה השערה זו לחלוטין.

את המקרה הראשון, הקל ביותר, פתר לנגלנדס עצמו ב-1973. מדובר בשדות המקומיים הארכימדיים, שדה הממשיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{R}} ושדה המספרים המרוכבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{C}} , שעבורם חבורת גלואה האבסולוטית היא מסדר 1 או 2. במקרה זה צד אחד של השקילות (זה העוסק בהצגות של חבורת גלואה האבסולוטית) מובן לחלוטין, והבעיה הייתה להוכיח שהצד השני שלה מתנהג בהתאם.

את המקרה של שדות לא ארכימדיים במאפיין חיובי פתרו ז'ראר לומון , אולריך שטולר ומיכאל רפפורט בראשית שנות ה-90, ואת המקרה הנותר, של שדות לא ארכימדיים במאפיין 0, פתרו מייקל האריס וריצ'רד טיילור בשנת 2001; גי אניאר פתר את המקרה בצורה שונה בשנת 2000.

ההשערה הגלובלית

ההשערה הגלובלית עוסקת, כאמור, בהתאמה בין הצגות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma_k} , כאשר k שדה גלובלי, לבין הצגות אוטומורפיות של חבורת המטריצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n(\mathbb{A}_k)} . פייר דלין זכה במדליית פילדס לשנת 1978 עבור פתרון חלקי של ההשערה עבור החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_2} עבור שדות גלובליים ממאפיין אפס, שכלל את פענוח ההצגות של חבורה זו באופן שיישב את השערת רמנוג'ן. ולדימיר דרינפלד הוכיח חלקים מן ההשערה עבור החבורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_2} עבור שדות גלובליים ממאפיין חיובי, וזכה במדליית פילדס לשנת 1990. הרחבה משמעותית של עבודה זו, לכל החבורות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n} (במאפיין חיובי), זיכתה את לורן לפורג (Laurent Lafforgue) במדליית פילדס לשנת 2002.

עקרון הפונקטוריאליות

בתורת החבורות האלגבריות מבינים את החבורות הליניאריות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n} כמקרים פרטיים של התאוריה הכללית של חבורות רדוקטיביות, ותוכנית לנגלנדס לוקחת נקודת מבט זו בחשבון. לכל חבורה רדוקטיבית קשירה G, לנגלנדס הצמיד את חבורת לנגלנדס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {}^L{}G} . לנגלנדס מצא דרך להתאים לכל הצגה קספידלית אוטומורפית של G ולכל הצגה סוף-ממדית של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {}^L{}G} , פונקציית L. על-פי ההשערה, פונקציות L אלה מקיימות משוואה פונקציונלית, המכלילה את אלו המוכרות מפונקציות L אחרות.

"עקרון הפונקטוריאליות" משדך את פונקציות L של החבורות הרדוקטיביות השונות. בהינתן שתי חבורות רדוקטיביות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ G, H} ומורפיזם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ {}^LG \rightarrow {}^LH} בין חבורות ה-L שלהן, ההשערה מתאימה בין ההצגות האוטומורפיות של שתי החבורות, בדרך המתיישבת עם פונקציות L המתאימות להן. זוהי השערה חזקה מאוד, שממנה נובעות כל האחרות שהוצגו עד כאן. מטבען של ההצגות המושרות. ניסיונות להציע בנייה ישירה של הפונקטור הניבו עד כה רק תוצאות חלקיות ומותנות.

רקע היסטורי

תוכנית לנגלנדס לא צמחה בחלל ריק. בדיעבד, אפשר לזהות לה מקורות השראה אפשריים אחדים.

אחד מאלה הוא הצעתם של המתמטיקאים האריש-צ'נדרה וישראל גלפנד שאפשר לבנות הצגות של חבורות לי באינדוקציה מהצגות קאספידליות של תת-חבורות פרבוליות, ברוח עבודותיו של האריש-צ'נדרה על חבורות לי פשוטות למחצה. מקור אחר הוא נוסחאות העקבה של סלברג ואחרים.

החידוש הגדול בתוכנית של לנגלנדס, מלבד העומק הטכני, הוא ההצעה לקשר ישיר בין תורת ההצגות לתורת המספרים, יחד עם ארגון עשיר בפרטים של ההשערות (ה"פונקטוריאליות").

לדוגמה, בעבודות של האריש-צ'נדרה אפשר למצוא את העיקרון שלפיו טכניקה שהצליחה עבור חבורת לי פשוטה למחצה (או אף חבורה רדוקטיבית) אחת, אמורה להצליח לכולן. לפיכך, ברגע שהובן התפקיד שממלאות כמה חבורות לי מדרגה נמוכה, כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_2} , בתאוריה של תבניות מודולריות (ובדיעבד אפשר לראות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_1} את המקרה של תורת שדות המחלקה), הדרך הייתה פתוחה לפחות לשער כיצד נכנסת לתאוריה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{GL}_n} ל-n כללי.

הרעיון לבנות על תבניות חוד (cusp forms) הגיע מן התבניות האלה בעקומים מודולריים, אבל היה להן תפקיד מוחשי גם בתורה הספקטרלית, בתור "ספקטרום בדיד" של מרחב ההצגות, בהשוואה לספקטרום הרציף שאותו מסבירות סדרות אייזנשטיין. עבור חבורות לי מדרגה גבוהה יותר, המיון נעשה הרבה יותר מורכב, משום שיש יותר תת-חבורות פרבוליות שצריך לקחת בחשבון.

בכל הגישות האלה לא היה מחסור בשיטות טכניות, בדרך כלל אינדוקטיביות באופיין ומבוססות על פירוק לוי של חבורות לי, למשל, אבל התחום בכללו היה מאז ומעולם קשה ביותר, והוא עדיין נחשב לכזה.

בתבניות המודולריות אפשר לראות הכללות של התבניות המודולריות של הילברט, התבניות המודולריות של זיגל, ואף פונקציות תטא.

התוכנית הגאומטרית

"תוכנית לנגלנדס הגאומטרית", שהוצעה על ידי ז'ראר לומון בעקבות רעיונות של ולדימיר דרינפלד, עולה מניסוח גאומטרי של תוכנית לנגלנדס המקורית, האלגברית. במקרים פשוטים, היא מקשרת את ההצגות ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell} -אדיות של "חבורה יסודית etale-ית" של עקום אלגברי, לאובייקטים של הקטגוריה הנגזרת של אלומות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \ell} -אדיות על ה-moduli stack של אגדים וקטוריים של היריעה.

מדליית פילדס הוענקה ב-2010 לנגו באו צ'או על הוכחת "הלמה היסודית" של תוכנית לנגלנדס הגאומטרית.

מקורות

• James Arthur: The Principle of Functoriality, Bulletin of the AMS v.40 no. 1 October 2002
• Stephen Gelbart: An Elementary Introduction to the Langlands Program, Bulletin of the AMS v.10 no. 2 April 1984.
• Edward Frenkel: Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory, hep-th/0512172
• J. Bernstein, S. Gelbart, An Introduction to the Langlands Program, מסת"ב 3-7643-3211-5, ובפרט פרק 10, Langlands conjectures for GL_n, מאת Jim Cogdell.
• I.M. Gelfand, `Automorphic functions and the theory of representations', in Proceedings, International Congress of Mathematicians, Stockholm, 1962, pp. 74-85.,
• הרצאתו של Yuri Manin(הקישור אינו פעיל) בטקס הענקת מדליית פילדס ל-Drienfeld,‏ 1990.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תוכנית לנגלנדס32160425Q1393253