משפט האיבר הפרימיטיבי

בתורת השדות, משפט האיבר הפרימיטיבי מאפשר לקבוע שהרחבת שדות מסוימת היא פשוטה, כלומר שאם ההרחבה היא $L/K$ אז קיים איבר $\alpha \in L$ כך ש-$L=K(\alpha )$.

המשפט

המשפט קובע ש:

תהי $L/K$ הרחבת שדות סופית. אז היא פשוטה אם ורק אם יש מספר סופי של שדות ביניים, כלומר מספר סופי של שדות $F$ כך ש-$L\supset F\supset K$.

מקרה פרטי חשוב של המשפט הוא:

תהי $L/K$ הרחבת שדות סופית וספרבילית. אז היא פשוטה.

הוכחה

נוכיח את המקרה הפרטי. תהי $L/K$ הרחבת שדות סופית וספרבילית.

אם $K$ סופי, גם $L$ סופי, ואז החבורה הכפלית של $L$ נוצרת על ידי איבר אחד, שגם יוצר את ההרחבה.

נניח $K$ אינסופי. נוכיח שלכל $a,b\in L$ מתקיים $K(a,b)=K(\alpha )$ עבור $\alpha \in L$ כלשהו, ומכך המשפט ינבע באינדוקציה (כי הרחבה סופית נוצרת על ידי מספר סופי של איברים).

נסמן את הפולינום המינימלי של $a$ ב-$f$ ושל $b$ ב-$g$. הם מתפצלים בסגור האלגברי של $K$. נסמן את שאר השורשים ב-$a_1,...,a_n,b_1,...,b_m$ (כולם שונים כי $L/K$ ספרבילית). נגדיר את הקבוצה: $S=\{\frac{a_i-a}{b_j-b}|1\le i\le n,1\le j\le m\}\cup \{0\}$. היא סופית, לכן יש $c\in K\setminus S$. נסמן $\alpha =a-cb$, וכן $h=f(\alpha +cx)$. אז $h(b)=f(\alpha +bc)=f(a)=0$, וכן $h(b_j)=f(\alpha +c{b}_j)\ne 0$ כי מבניה $\alpha +c{b}_j\ne a_i,a$ לכל $i,j$. לכן $gcd(g,h)=x-b$. אבל $g,h\in K(\alpha )[x]$ ולכן כך גם ה-gcd שלהם. לכן $b\in K(\alpha )$ ולכן גם $a\in K(\alpha )$. מכאן $K(a,b)\subset K(\alpha )$. כמובן גם $K(a,b)\supset K(\alpha )$ ובסך הכול $K(a,b)=K(\alpha )$.

ההוכחה לא רק מראה קיום אלא גם מראה דרך מפורשת לבנות את האיבר, ולמעשה מוכיחה שכמעט כל האיברים ב-$L$ יוצרים את ההרחבה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט האיבר הפרימיטיבי23551981