משפט האיבר הפרימיטיבי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת השדות, משפט האיבר הפרימיטיבי מאפשר לקבוע שהרחבת שדות מסוימת היא פשוטה, כלומר שאם ההרחבה היא L/K אז קיים איבר αL כך ש-L=K(α).

המשפט

המשפט קובע ש:

תהי L/K הרחבת שדות סופית. אז היא פשוטה אם ורק אם יש מספר סופי של שדות ביניים, כלומר מספר סופי של שדות F כך ש-LFK.

מקרה פרטי חשוב של המשפט הוא:

תהי L/K הרחבת שדות סופית וספרבילית. אז היא פשוטה.

הוכחה

נוכיח את המקרה הפרטי. תהי L/K הרחבת שדות סופית וספרבילית.

אם K סופי, גם L סופי, ואז החבורה הכפלית של L נוצרת על ידי איבר אחד, שגם יוצר את ההרחבה.

נניח K אינסופי. נוכיח שלכל a,bL מתקיים K(a,b)=K(α) עבור αL כלשהו, ומכך המשפט ינבע באינדוקציה (כי הרחבה סופית נוצרת על ידי מספר סופי של איברים).

נסמן את הפולינום המינימלי של a ב-f ושל b ב-g. הם מתפצלים בסגור האלגברי של K. נסמן את שאר השורשים ב-a1,...,an,b1,...,bm (כולם שונים כי L/K ספרבילית). נגדיר את הקבוצה: S={aiabjb|1in,1jm}{0}. היא סופית, לכן יש cKS. נסמן α=acb, וכן h=f(α+cx). אז h(b)=f(α+bc)=f(a)=0, וכן h(bj)=f(α+cbj)0 כי מבניה α+cbjai,a לכל i,j. לכן gcd(g,h)=xb. אבל g,hK(α)[x] ולכן כך גם ה-gcd שלהם. לכן bK(α) ולכן גם aK(α). מכאן K(a,b)K(α). כמובן גם K(a,b)K(α) ובסך הכול K(a,b)=K(α).

ההוכחה לא רק מראה קיום אלא גם מראה דרך מפורשת לבנות את האיבר, ולמעשה מוכיחה שכמעט כל האיברים ב-L יוצרים את ההרחבה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט האיבר הפרימיטיבי23551981