הרחבה ספרבילית

באלגברה מופשטת, הרחבה ספרבילית היא הרחבה של שדות שהפולינום המינימלי של כל איבר בה הוא ספרבילי, כלומר כל שורשיו בשדה הפיצול שונים זה מזה. להרחבות ספרביליות חשיבות רבה בתורת גלואה: כל הרחבת גלואה היא ספרבילית, ולכל שדה יש סגור ספרבילי, שהוא ההרחבה האלגברית הספרבילית הגדולה ביותר של השדה.

לספרביליות יש משמעות אלגברית גם מחוץ לתורת השדות - ראו אלגברה ספרבילית.

ספרביליות של פולינומים

פולינום אי-פריק $\ f(x)$ הוא ספרבילי אם כל שורשיו בשדה הפיצול שלו שונים זה מזה. עבור פולינומים שאינם אי פריקים נמצאות בספרות שתי הגדרות שונות - לפעמים פולינום נקרא ספרבילי אם הגורמים האי-פריקים שלו הם ספריביליים, ולפעמים דורשים בנוסף שהגורמים האי-פריקים יהיו שונים זה מזה. למשל, $\ x^{n}$ הוא ספרבילי לפי ההגדרה הראשונה, אבל לא לפי השנייה.

פולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)} אינו ספרבילי (לפי ההגדרה החלשה) אם ורק אם יש לו גורם משותף לא טריוויאלי עם ההנגזרת הפורמלית שלו, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f'(x)} . מתכונה זו נובע שכל פולינום אי פריק מעל שדה ממאפיין אפס הוא ספרבילי, ולכן גם כל הרחבה של שדה ממאפיין 0 היא ספרבילית. מכאן שמושג הספרביליות הוא בעל משמעות רק עבור שדות עם מאפיין שונה מאפס.

הדוגמה הטיפוסית לפולינום אי-פריק שאינו ספרבילי היא פולינום מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^p - a} , כאשר p הוא המאפיין של השדה. באופן כללי יותר, כל פולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = g(x^p)} אינו ספרבילי. את הספרביליות אפשר לזהות לפי הנגזרת (האבסטרקטית) של הפולינום: פולינום אי-פריק הוא ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה אפס.

הוכחה
נניח שהפולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אי-פריק (לא קבוע) ולא ספרבילי, ונסתכל עליו בשדה הפיצול שלו. אזי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} יש שורש c מריבוי אלגברי גבוה מ-1 ולכן אפשר לכתוב אותו בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=q(x)(x-c)^2} . אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)=(x-c)^2q'(x) + 2(x-c)q(x) = (x-c)(2q(x)+q'(x)(x-c))} ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h = \gcd( f , f')} הוא פולינום ש-c מאפס אותו בשדה הפיצול, כלומר או שהוא פולינום ממעלה גדולה מ-0 כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x-c\|h} או שהוא פולינום האפס. נניח בשלילה שהוא פולינום ממעלה חיובית, אבל מאחר שאת ה-gcd אפשר לחשב באמצעות חילוק אוקלידי הוא מוגדר בשדה הבסיס F, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h \in F[x]} . אבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h\|f} (הפולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h} מחלק את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} כי הוא מחלק משותף מקסימלי שלו ושל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'} ) וקיבלנו סתירה לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אי-פריק. הדרך היחידה לפתור את הסתירה היא לדרוש שבהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h = \gcd( f , f')=0} (האפשרות של פולינום קבוע ממעלה 0 השונה מ-0 תיתן סתירה, כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gcd(f,f')=1} מביא לסתירה כי בשדה הפיצול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0=h(c) \ne 1(c)=1} . אבל $\gcd(f,f')=0$ אפשרי רק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'=0} . התנאי האחרון אפשרי רק כאשר המאפיין של השדה הוא p (מספר ראשוני) ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=g(x^p)} , ואז אכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x) = \frac{d}{dx}g(x^p) = g'(x^p)\cdot p \cdot x^{p-1} \equiv 0 \pmod{p}} . בכיוון השני, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'=0} אז ניתן לראות שהפולינום הוא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=g(x^p)} בשדה ממאפיין p. יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} שורש בשדה פיצול של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} , אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(c)=g(c^p)=0} ובפרט $x^{p}-c^{p}\|g(x^{p})$ ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^p-c^p\|f(x)} . אבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^p - c^p \equiv (x-c)^p \pmod{p}} ולכן השורש c הוא מריבוי אלגברי גדול מ-1, ומכאן שלא כל שורשיו של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} שונים זה מזה. כלומר, הפולינום לא ספרבילי. מש"ל

איבר a באלגברה מעל השדה F נקרא איבר ספרבילי, אם הפולינום המינימלי שלו הוא ספרבילי (לפי ההגדרה השנייה, החזקה יותר). לאיברים בשדה הרחבה הפולינום המינימלי תמיד אי-פריק, ולכן אין הבדל בין שתי ההגדרות לעניין הספרביליות במקרה זה.

תכונות

כל הרחבת ביניים של הרחבה ספרבילית היא ספרבילית. מאידך, ספרביליות היא טרנזיטיבית: אם K/F ו-E/K הרחבות ספרביליות, אז גם E/F ספרבילית.

כל הרחבה ספרבילית סופית היא פשוטה, כלומר, נוצרת על ידי איבר אחד: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E=F(\theta)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \theta\isin E} מתאים.