מספר טרנספיניטי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

מספר טרנספיניטי הוא מספר הגדול מאשר כל מספר סופי. המספרים הטרנספיניטיים כוללים מספרים מונים (קרדינלים), המשמשים לציון הגודל של קבוצה אינסופית, ומספרים סודרים (אורדינלים), המשמשים לציון סדר בקבוצות אינסופיות.[1] את המושג "טרנספיניטי" טבע המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1895,[2] כשרצה להימנע מכמה מההשלכות של המילה "אינסופי" בקשר עם אובייקטים אלה, שבכל אופן לא היו סופיים. מעטים מהכותבים בני זמננו חולקים חששות אלה; כיום מקובל להתייחס לקרדינלים טרנספיניטיים ולאורדינלים כאל מספרים אינסופיים. אף על פי כן, גם המונח "טרנספיניטי" נשאר בשימוש.

עבודה בולטת על מספרים טרנספיניטיים נעשתה על ידי המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי, בספרו משנת 1928‏ "Leçons sur les nombres transfinis", שמהדורה מורחבת שלו, בשם "Cardinal and Ordinal Numbers" יצאה לאור ב-1958[3] ובמהדורה שנייה ב-1965.[4]

הגדרה

כל מספר טבעי סופי יכול לשמש לפחות בשתי דרכים: כמספר מונה וכמספר סודר. מספרים מונים מציינים את הגודל של קבוצות (למשל, "שקית של חמש גולות"), בעוד שמספרים סודורים מציינים את המיקום של איבר בתוך קבוצה מסודרת (למשל, "האיש השלישי משמאל"). מספר מונה טרנספיניטי משמש לתיאור גודל של קבוצה אינסופית,[1] בעוד שמספר סודר טרנספיניטי משמש לתיאור המיקום בתוך קבוצה אינסופית מסודרת.[5] המספרים המונים והסודרים הנודעים ביותר הם, בהתאמה:

  • (אלף אפס): המספר המונה הטרנספיניטי הראשון. זוהי גם העוצמה של קבוצת המספרים הטבעיים. כאשר אקסיומת הבחירה מתקיימת, המספר המונה הבא הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1} . כאשר אינה מתקיימת, ייתכנו מספרים מונים אחרים שאינם ניתנים להשוואה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1} וגדולים מהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} . כך או כך, אין מספרים מונים בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0} לבין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1} .
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} (אומגה): המספר הסודר הטרנספיניטי הנמוך ביותר. זהו גם טיפוס הסדר של המספרים הטבעיים לפי הסדר הליניארי הרגיל שלהם.

השערת הרצף היא הטענה שאין מספרים מונים בין לבין עוצמת הרצף (העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים): או לחלופין ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_1} הוא הקרדינליות של קבוצת המספרים הממשיים. בתורת הקבוצות של צרמלו-פרנקל לא ניתן להוכיח את השערת הרצף ולא את שלילתה.

כמה מחברים, כולל פטריק סופס (Patrick Suppes) וג'ין רובין (Jean E. Rubin), משתמשים במונח קרדינל טרנספיניטי כדי להתייחס לקרדינליות של קבוצה אינסופית-דדקינד (אנ') בהקשרים שבהם זה אולי שקול ל"קרדינל אינסופי"; כלומר, בהקשרים שבהם האקסיומה של בחירה בת-מנייה (אנ') אינה משוערת או אינה ידועה כמתקיימת. בהינתן הגדרה זו, כולם שווים:

  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{m}} הוא קרדינל טרנספיניטי. כלומר, יש קבוצה אינסופית-דדקינד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} כך שהקרדינליות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak {m}} .
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{m} + 1 = \mathfrak{m}} .
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0 \leq \mathfrak{m}} .
  • יש מספר מונה כך שמתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}} .

למרות שאורדינלים טרנספיניטיים וקרדינלים שניהם מכלילים רק את המספרים הטבעיים, מערכות מספרים אחרות, כולל המספרים ההיפר-ריאליים (אנ') והמספרים הסוריאליסטיים, מספקות הכללות של המספרים הממשיים,[6]

דוגמאות

בתאוריה של המספרים הסודרים של קנטור, לכל מספר שלם חייב להיות עוקב. המספר השלם הבא אחרי כל השלמים הרגילים, כלומר המספר השלם האינסופי הראשון, נקרא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} . בהקשר הזה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega+1} גדול מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega\cdot2} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega^{2}} ו- גדולים עוד יותר. ביטויים אריתמטיים המכילים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} מציינים מספר סודר, וניתן לחשוב עליו כקבוצת כל המספרים השלמים עד למספר זה. למספר נתון יש בדרך כלל ביטויים מרובים המייצגים אותו, עם זאת, יש צורה נורמלית ייחודית של קנטור (Cantor normal form) המייצגת אותו, שהיה בבסיסה רצף סופי של ספרות שנותנים מקדמים של חזקות יורדות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} .

עם זאת, לא כל המספרים השלמים האינסופיים יכולים להיות מיוצגים על ידי צורה נורמלית של קנטור, והראשון שלא ניתן לייצגו הוא הגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega^{\omega^{\omega^{...}}}} המכונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{0}} . הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{0}} הוא הפתרון הקטן ביותר למשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega^{\varepsilon}=\varepsilon} , והפתרונות הבאים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}} ...} נותנים אורדינלים גדולים יותר, ויכולים להימשך עד שמגיעים לגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}} , שהוא הפתרון הראשון ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_{\alpha}=\alpha} . זה אומר שכדי להיות מסוגל לציין את כל המספרים השלמים הטרנספיניטיים, צריך לחשוב על רצף אינסופי של שמות: כי אם נציין מספר שלם יחיד גדול ביותר, תמיד אפשר יהיה לציין את העוקב הגדול ממנו. אבל כפי שציין קנטור, אפילו זה רק מאפשר להגיע למחלקה הנמוכה ביותר של מספרים טרנספיניטיים: אלה שגודל הקבוצות שלהם תואם למספר המונה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \aleph_{0}} .

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ 1.0 1.1 Transfinite Numbers and Set Theory, The University of Utah
  2. ^ Georg Cantor (1915). Philip E.B. Jourdain (ed.). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers (PDF). New York: Dover Publications, Inc. English translation of Cantor (1895,1897)
  3. ^ Oxtoby, J. C. (1959), "Review of Cardinal and Ordinal Numbers (1st ed.)", Bulletin of the American Mathematical Society, 65 (1): 21–23, doi:10.1090/S0002-9904-1959-10264-0, MR 1565962
  4. ^ Goodstein, R. L. (בדצמבר 1966), "Review of Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.)", The Mathematical Gazette, 50 (374): 437, doi:10.2307/3613997, JSTOR 3613997 {{citation}}: (עזרה)
  5. ^ Ordinal Number, באתר MathWorld (באנגלית)
  6. ^ Beyer, W. A.; Louck, J. D. (1997), "Transfinite function iteration and surreal numbers", Advances in Applied Mathematics, 18 (3): 333–350, doi:10.1006/aama.1996.0513, MR 1436485
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

36250853מספר טרנספיניטי

אוחזר מתוך "https://he.hamichlol.org.il/w/index.php?title=מספר_טרנספיניטי&oldid=2511240"