מיוריזציה

במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם-סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו.

אינטואיציה. עבור שתי סדרות a,b בעלות מספר שווה של איברים ואותו ממוצע חשבוני, a ממיירת את b אם איברי הסדרה a מרוכזים יותר מאברי הסדרה b מסביב לממוצע.

הגדרה פורמלית

עבור הווקטורים $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$ נאמר כי a ממייר את b (או גובר על b) אם: $\sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i}$ ולכל $k\in \{1,\ldots ,d-1\}$, : $\sum _{i=1}^{k}a_{i}^{\downarrow }\geq \sum _{i=1}^{k}b_{i}^{\downarrow },$, כאשר $a_{i}^{\downarrow }$ ו-$b_{i}^{\downarrow }$ הם הרכיבים של $a$ ו-$b$ בהתאמה, ממוינים בסדר לא עולה. נהוג לסמן את הטענה "a ממייר את b" על ידי $\mathbf {a} \succeq \mathbf {b}$.

יישומים

• בהינתן שני וקטורים ממשיים $a,b\in \mathbb {R} ^{d}$, $a$ גובר על $b$ אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית $D$ כך שמתקיים $b=D\cdot a$. במקרה זה ניתן להראות כי קיימת קבוצת הסתברויות $(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{d}),\sum _{i=1}^{d}p_{i}=1$ וקבוצת תמורות $(P_{1},P_{2},\ldots ,P_{d})$ כך ש $b=\sum _{i=1}^{d}p_{i}P_{i}a$.

• בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים $H$ ו-$'H$ נאמר כי $H$ גובר על $'H$ אם אוסף הערכים העצמיים של $H$ גובר על זה של $'H$.

• אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן פונקציה קמורה $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ושתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים a,b, מתקיים: a גובר על b אם ורק אם $\sum _{i=1}^{d}h(a_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(b_{i})$

קישורים חיצוניים

• מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית)
• מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה מאת שי גירון ורן טסלר