מודול מוצלב

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, מודול מוצלב (באנגלית: crossed module) הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית $(g,h)\mapsto ^{g}\!h=g\cdot h$ או פעולה ימנית $(h,g)\mapsto h^{g}=h\cdot g$ ), ויש הומומורפיזם של חבורות

d\colon H\longrightarrow G,\!

שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה

d(^{g}h)=gd(h)g^{-1}\!

ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):

^{d(h_{1})}{h_{2}}=h_{1}h_{2}h_{1}^{-1}\!

.

כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית $h^{g}=h\bullet g$ , רושמים במקום:

d(h^{g})=g^{-1}d(h)g

וזהות פייפר היא

h_{2}^{d(h_{1})}=h_{1}^{-1}h_{2}h_{1}

.

דוגמאות

המודול המוצלב הטריוויאלי $\mathrm {id} :G\to G$ הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה $h^{g}=g^{-1}hg$ ושמאלי עם $^{g}h=ghg^{-1}$ .
תהי $H<G$ תת-חבורה נורמלית ו- $d:H\hookrightarrow G$ הומומורפיזם השיכון. זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה $h^{g}=g^{-1}hg$ . הנורמליות מבטיחה ש- $h^{g}=g^{-1}hg\in H$ ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
$d:H\twoheadrightarrow G$ כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: $\ker(d)\subseteq Z(H)$ .
יהי $d:G\to \mathrm {Aut} (G)$ כאשר d שולח כל איבר $g\in G$ לאוטומורפיזם הפנימי $x\mapsto g^{-1}xg$ בחבורות האוטומורפיזמים $\mathrm {Aut} (G)$ , והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: $h^{g}=[\![x\mapsto g^{-1}xg]\!](h)=g^{-1}hg$ (פעולה ימנית). אזי $d:G\to \mathrm {Aut} (G)$ הוא מודול מוצלב (ימני).

שימושים

הנושא הוזכר לראשונה על ידי ג'ון וייטהד בשנת 1941 ובעבדותו משנת 1946 הוא לראשונה השתמש בשם "מודול מוצלב". למודולים מוצלבים יש שימושים בחישוב קוהומולוגיות באלגברה הומולוגית ובפרט עם גישת חבורות-2 וגרופואידים. כמו כן, למושג זה קשר חזק לטופולוגיה אלגברית וחבורות הומוטופיה.