מרכז (תורת החבורות)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף מרכז של חבורה)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החבורות, מרכז החבורה G היא קבוצת כל האיברים שמתחלפים עם כל איברי G:

Z(G)={zG:gz=zg,gG}

המרכז הוא תמיד תת-חבורה נורמלית ואבלית של G. סימונו מגיע מהמילה הגרמנית Zentrum שמשמעותה "מרכז".

אם G היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם Z(G)={e} (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק).

נתבונן בהומומורפיזם φ מהחבורה G לחבורת האוטומורפיזמים שלה φ:GAut(G) המוגדר לפי (φ(g))(h)=ghg1 (כלומר φ(g) הומומורפיזם הצמדה ב-g). הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של G, והתמונה φ(G) היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של G, ומסומנת Inn(G). לפי משפט האיזומורפיזם הראשון G/Z(G)Inn(G). לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-Gad=G/Z(G).

ראו גם

קישורים חיצוניים

  • מרכז, באתר MathWorld (באנגלית)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרכז (תורת החבורות)37726191Q1195852