גרעין (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הגרעין של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האברים שההומומורפיזם מעביר אל האבר הנייטרלי. הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון, על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה $ f:A\to B $ ב-$ \operatorname {Ker} (f) $ או $ \ker(f) $.

דוגמאות

• אם $ \ T:V\rightarrow W $ הומומורפיזם של מרחבים וקטוריים, הגרעין שלו $ \ \operatorname {Ker} (T)=\{v\in V:T(v)=0\} $ הוא תת-מרחב של $ \ V $, שממדו $ \ \dim(V)-\operatorname {rank} (T) $.
• אם $ \ f:G\rightarrow H $ הומומורפיזם של חבורות, הגרעין $ \ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in G:f(v)=1\} $ הוא תת-חבורה נורמלית, וחבורת המנה $ \ G/\operatorname {Ker} (f) $ איזומורפית לתמונה $ \ \operatorname {Im} (f) $.
• אם $ \ f:R\rightarrow S $ הומומורפיזם של חוגים, הגרעין $ \ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in R:f(v)=0\} $ הוא אידאל דו-צדדי, וחוג המנה $ \ R/\operatorname {Ker} (f) $ איזומורפי לתמונה $ \ \operatorname {Im} (f) $.
• אם $ \ f:M\rightarrow N $ הומומורפיזם של מודולים מעל חוג R, הגרעין $ \ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in M:f(v)=0\} $ הוא תת-מודול של $ \ M $, ומודול המנה $ \ M/\operatorname {Ker} (f) $ איזומורפי לתמונה $ \ \operatorname {Im} (f) $.
• ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה עם נקודה (pointed set). אם $ f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0}) $ פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז $ \operatorname {Ker} (f)=\{x\in X\ :\ f(x)=y_{0}\} $.

ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.

ראו גם

• מרחב פתרונות