מרכז משולש

בגאומטריה, מרכז משולש הוא נקודה במשולש, שיש לה תיאור סימטרי והומוגני במונחי קואורדינטות טריליניאריות. הנקודות העיקריות בגאומטריה של המשולש, ובהן מפגש התיכונים, מפגש הגבהים ומפגש חוצי הזוויות, הן מרכזי משולש. האנציקלופדיה של מרכזי משולשים מונה יותר מחמשת אלפים מרכזים.

הגדרה

נקודה במשולש ABC שארכי צלעותיו a,b,c נקראת מרכז משולש אם היא מוגדרת על ידי קואורדינטות טריליניאריות $\ u(a;b,c):u(b;c,a):u(c;a,b)$ , כאשר הפונקציה $\ u(a;b,c)$ סימטרית בשני המשתנים האחרונים, והומוגנית. אם $\ u(a;b,c)=u(a)$ , הנקודה נקראת מרכז עיקרי.

דוגמאות

הנקודה 1:1:1 היא מפגש חוצי הזווית במשולש, שהוא מרכז המעגל החסום. הנקודה $\ a^{-1}:b^{-1}:c^{-1}$ היא מפגש התיכונים. אלו הם מרכזים עיקריים. מרכז המעגל החוסם נמצא ב- $\ {\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2bc}}:{\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2ac}}:{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$ , ואילו מפגש הגבהים נמצא ב- $\ {\frac {2bc}{-a^{2}+b^{2}+c^{2}}}:{\frac {2ac}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}}:{\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}}$ .