משפט חוצה הזווית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה, משפט חוצה הזווית קובע שחוצה זווית במשולש (זווית פנימית או זווית חיצונית), מחלק את הצלע בה הוא פוגע (או המשכה) ביחס שווה ליחס בין שוקי הזווית.

למשל, בתמונה שבצד, AD חוצה את זווית A וחותך את BC ב-D, ולכן, ABAC=BDCD

המשפט מכליל את הטענה שחוצה זווית במשולש שווה-שוקיים הוא תיכון.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: אם ישר יוצא מקודקוד של משולש לעבר הצלע ממול ומחלק אותה ביחס שווה ליחס בין הצלעות, אז אותו ישר הוא חוצה זווית.

הוכחות למשפט

באמצעות משפט תאלס

הוכחת המשפט

נסמן באותיות יווניות את שני חלקי הזווית החצויה: ב- α את החלק הקרוב לישר AB וב- β את החלק הקרוב לישר AC.

נסמן נקודה K על AB (או על המשכה), כך ש-CKAD

נקבל, על פי משפט תאלס, BAAK=BDDC

מכיוון ש-CKAD, נקבל AKC=α (כי זוויות מתאימות בין מקבילים שוות זו לזו) וגם ACK=β (כי זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות זו לזו)

מכיוון ש- α=β (כי AD חוצה זווית), נקבל, על פי כלל המעבר, ACK=AKC

מכיוון שבמשולש, מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות, AK=AC

נציב תוצאה זו, ונקבל BAAC=BDDC

באמצעות שטחים

הוכחת המשפט


חוצה זווית הוא המקום הגיאומטר של הנקודות במרחק שווה מהצלעות לכן DE=DF

מכיוון של-,ABD ו-ADC יש גובה משותף מA ל BC

BDDC=SBDASDCA=ABDE2ACDF2=ABAC

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא משפט חוצה הזווית בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט חוצה הזווית41209357Q925854