התבנית היסודית הראשונה

בגאומטריה דיפרנציאלית, התבנית היסודית הראשונה היא תבנית דיפרנציאלית ריבועית המתקבלת מהמכפלה הפנימית על המרחב המשיק למשטח במרחב אוקלידי תלת-ממדי אשר מושרית מן המכפלה הסקלרית ב-R³. היא מאפשרת את חישוב העקמומיות ותכונות מטריות אחרות של המשטח כמו אורכים ושטחים באופן עקבי עם המרחב בו המשטח משוכן. התבנית היסודית הראשונה מסומנת בדרך כלל על ידי האות הרומאית I,הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{I}(x,y)= \langle x,y \rangle}

הגדרה

יהי X(u, v) משטח בהצגה פרמטרית, כאשר u ו-v הן קואורדינטות המוגדרות על המשטח. יהי r(u, v) וקטור מן הראשית לנקודה עליו. הביטוי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d\mathbf{r} =\mathbf{r_u}du+\mathbf{r_v}dv }

הוא הדיפרנציאל של הווקטור r כאשר השינוי בו נעשה בכיוון העתק המוגדר על ידי היחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du:dv} , ושבמסגרתו זזים נקודה M לנקודה קרובה באופן אינפיניטסימלי 'M. העלאה בריבוע של הביטוי הדיפרנציאלי הליניארי לעיל מאפשרת לבטא את אלמנט האורך ds במונחי הנגזרות החלקיות $\mathbf {r_{u}} ,\mathbf {r_{v}}$:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{I} = ds^2 = d\mathbf{r}^2= \mathbf{r_u^2}du^2+2\mathbf{r_ur_v}dudv + \mathbf{r_v^2}dv^2 }

וביטוי זה מכונה התבנית היסודית הראשונה של המשטח. המקדמים בתבנית היסודית הראשונה בדרך כלל מסומנים באותיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E,F,G} כאשר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E = \mathbf{r_u^2}, F = \mathbf{r_ur_v}, G = \mathbf{r_v^2}}

תכונות

מכיוון שהתבנית היסודית הראשונה היא תבנית ריבועית המייצגת אלמנט מרחק, על פי הגדרה היא מוכרחה להיות חיובית לחלוטין, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת שלה חיובית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle EG-F^2>0} .

הצורה של מקדמי התבנית היסודית הראשונה תלויה באופן בחירת מערכת הקואורדינטות (u,v) עמה מציגים את המשטח פרמטרית. היא מקבלת את הצורה האורתוגונלית הבאה כאשר קווים שווי - u חותכים בכל מקום קווים שווי - v בזוויות ישרות (קואורדינטות אורתוגונליות):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E(u,v)du^2+G(u,v)dv^2}

לדוגמה, בחירה של מערכת קווי אורך (u) וקווי רוחב (v) על הספירה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{S}^2} היא הצגה פרמטרית אורתוגונלית, ומקדמי התבנית היסודית הראשונה מקבלים במקרה זה את הצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E(u,v)=\mathbb{sin}^2v, G(u,v) = 1} . עם זאת, לא לכל משטח ניתן להגדיר מערכת קואורדינטות אורתוגונליות גלובלית (המכסה את כולו) ולכן לא ניתן תמיד להימנע מצורות סבוכות יותר של מקדמי התבנית.

סימון נוסף

התבנית היסודית הראשונה לעיתים קרובות נכתבת בסימון המודרני של הטנזור המטרי. בסימון זה, המקדמים נכתבים כ-g_ij:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}}

רכיבי הטנזור הזה מחושבים דרך המכפלה הסקלרית של וקטורים משיקים X₁ ו-X₂:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{ij} = \langle X_i, X_j \rangle }

בעבור $i=1,2\ j=1,2$.

עקמומיות גאוס

עקמומיות גאוס של משטח נתונה על ידי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K = \frac{\det \mathrm{I\!I}_p}{\det \mathrm{I}_p} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, }

כאשר L,M,N הם מקדמי התבנית היסודית השנייה.

התיאורמה אגרגיום של גאוס קובע שעקמומיות גאוס של משטח ניתנת לביטוי באמצעות מקדמי התבנית היסודית הראשונה ונגזרותיהם החלקיות, כך ש-K היא למעשה שמורה פנימית של המשטח.

ראו גם

• מטריקה רימנית

קישורים חיצוניים

• התבנית היסודית הראשונה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התבנית היסודית הראשונה39588617Q939725