חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות $E/F$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה $E$, המעבירים כל איבר של השדה $F$ לעצמו.

חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות.

לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה $E/F$, זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה.

הגדרה

יהי $F$ שדה, ותהי $E/F$ הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה $E/F$ המסומנת ב$\mathrm{G}(E/F)$, $\mathrm{Aut}(E/F)$ או ב$\mathrm{Gal}(E/F)$ מוגדרת להיות

$\mathrm{G}(E/F)=\{\sigma \in \mathrm{Aut}\left(E\right)|\sigma (x)=x;\mathrm{\forall }x\in F\}$

כאשר $\mathrm{Aut}\left(E\right)$ היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה $E$.

קל לבדוק שזוהי אכן חבורה.

דוגמאות

• חבורת הגלואה של ההרחבה $\mathbb{ℂ}/\mathbb{ℝ}$ היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם $\sigma$ בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים $\sigma (i^2+1)=\sigma (i{)}^2+1=0$. לכן $\sigma (i)\in \{-i,i\}$. לכן מתקיים לכל $a,b\in \mathbb{ℝ}$ כי $\sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\cdot \sigma (i)$. במעבר האחרון השתמשנו בכך ש$\sigma$ משאירה את איברי $\mathbb{ℝ}$ במקום. לכן $\sigma (a+bi)=a+bi$ או $\sigma (a+bi)=a-bi$.
• באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt{2}\right)/\mathbb{\mathbb{Q}}$ מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: $\sigma (a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2}$
• חבורת הגלואה של ההרחבה $\mathbb{ℝ}/\mathbb{\mathbb{Q}}$ מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של $\mathbb{ℝ}$ מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של $\mathbb{ℝ}$ מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש$\sigma (a^2)=\sigma (a{)}^2$ ולכן שומרת על יחס סדר.
• תהי $F/\mathbb{\mathbb{Q}}$ הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של $F/\mathbb{\mathbb{Q}}$ היא חבורת האוטומורפיזמים של $F$, כלומר $\mathrm{Aut}\left(F\right)$. זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם.
• יהי $p$ מספר ראשוני, ותהי $K/{\mathbb{𝔽}}_p$ הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של $K/{\mathbb{𝔽}}_p$ היא חבורת האוטומורפיזמים של $K$, כלומר $\mathrm{Aut}\left(K\right)$.
• חבורת הגלואה של ההרחבה $\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt[3]{2}\right)/\mathbb{\mathbb{Q}}$ מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם $\sigma$ בחבורה, מתקיים $\sigma ({\sqrt[3]{2}}^3-2)=\sigma (\sqrt[3]{2}{)}^3-2=0$. לכן בהכרח $\sigma \left(\sqrt[3]{2}\right)=\sqrt[3]{2}$. מאחר ש$\{1,\sqrt[3]{2},{\sqrt[3]{2}}^2\}$ בסיס, נובע כי $\sigma$ היא בהכרח העתקת הזהות.

שדה השבת

יהי $E$ שדה. תהי $G\le \mathrm{Aut}\left(E\right)$ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של $E$. נגדיר את שדה השבת של $G$, המסומן גם ב$E^G$ להיות הקבוצה הבאה:

$E^G=\{x\in E|\mathrm{\forall }\sigma \in G:\sigma (x)=x\}$

כלומר, שדה השבת של $G$ הוא קבוצת כל האיברים מהשדה $E$ שכל איברי $G$ משאירים אותם במקום.

קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם $E/F$ הרחבת שדות ו-$G=\mathrm{G}(E/F)$ אז $F\le E^G$.

שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם $F=\mathbb{\mathbb{Q}}$ ו-$E=\mathbb{\mathbb{Q}}\left(\sqrt[3]{2}\right)$, אז ראינו קודם ש-$G$ מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי $F\ne E^G=E$

תכונות

• אם ההרחבה $E/F$ מממד סופי, מתקיים כי $|\mathrm{G}(E/F)|\le [E:F]$, כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה.
• השוויון $|\mathrm{G}(E/F)|=[E:F]$ מתקיים אם ורק אם $E/F$ הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה.
• הלמה של ארטין: יהי $E$ שדה, ו$G\le \mathrm{Aut}\left(E\right)$ תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של $E$. אזי אם $E^G=F$ מתקיים $|G|\le [E:F]$. מתקיים אפילו $G=\mathrm{G}(E/F)$

קישורים חיצוניים

• חבורת גלואה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• חבורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חבורת גלואה23770649