הלמה של גאוס (פולינומים)

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

• המכפלה של שני פולינומים פרימיטיביים, כלומר, פולינומים שלמקדמים שלהם אין גורם משותף פרט ל-1, היא גם פרימיטיבית.
• אם פולינום בעל מקדמים שלמים הוא פולינום אי-פריק מעל חוג המספרים השלמים, אז הוא אי פריק גם מעל שדה המספרים הרציונליים.
• אם $ D $ תחום פריקות יחידה, אז גם חוג הפולינומים $ D[x] $ תחום פריקות יחידה.

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה

הוכחה ללמה הראשונה. יהי $ D $ תחום פריקות יחידה, ונניח כי $ f(x),g(x) $ פולינומים בעלי מקדמים ב-$ D $ . ברור שגם מקדמי המכפלה $ f(x)\cdot g(x) $ הם ב-$ D $ . אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני $ p $ . מכיוון שהאידאל $ Dp $ ראשוני, חוג המנה $ D/Dp $ הוא שדה, ולכן חוג הפולינומים מעליו $ (D/Dp)[x] $ הוא תחום שלמות. לפי ההנחה $ f\cdot g=0 $ בחוג זה, ולכן $ f=0 $ או $ g=0 $ – מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

הוכחה נוספת: יהי $ p $ ראשוני. אם $ f=\sum _{k=0}^{N}a_{k}x^{k},g=\sum _{k=0}^{M}b_{k}x^{k} $ , יש אינדקסים מינימליים $ m,n $ עבורם $ a_{n},b_{m} $ לא מתחלקים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): p . אז $ a_{n}b_{m} $ לא מתחלק ב-$ p $ , ו-$ a_{i}b_{n+m-i} $ מתחלק ב-$ p $ לכל $ i\neq n $ ולכן המקדם של $ x^{n+m} $ ב-$ f\cdot g $ (שהוא $ a_{n}b_{m}+\sum _{i=0,i\neq n}^{n+m}a_{i}b_{n+m-i} $) לא מתחלק ב-$ p $ .