הלמה של גאוס (פולינומים)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

הטענות מתייחסות לפולינומים מעל תחום פריקות יחידה (ובאופן כללי יותר לפולינומים מעל כל תחום gcd), ובפרט הן נכונות עבור פולינומים במקדמים שלמים.

הוכחה

הוכחה ללמה הראשונה. יהי D תחום פריקות יחידה, ונניח כי f(x),g(x) פולינומים בעלי מקדמים ב-D . ברור שגם מקדמי המכפלה f(x)g(x) הם ב-D . אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני p . מכיוון שהאידאל Dp ראשוני, חוג המנה D/Dp הוא שדה, ולכן חוג הפולינומים מעליו (D/Dp)[x] הוא תחום שלמות. לפי ההנחה fg=0 בחוג זה, ולכן f=0 או g=0 – מכאן שלפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

הוכחה נוספת: יהי p ראשוני. אם f=k=0Nakxk,g=k=0Mbkxk , יש אינדקסים מינימליים m,n עבורם an,bm לא מתחלקים ב-p . אז anbm לא מתחלק ב-p , ו-aibn+mi מתחלק ב-p לכל in ולכן המקדם של xn+m ב-fg (שהוא anbm+i=0,inn+maibn+mi) לא מתחלק ב-p . הלמה_של_גאוס_(פולינומים)18899923Q587938