דטרמיננטת דיידונה

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דודונה שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי $F$, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם $\operatorname {GL} _{n}(F)\rightarrow F^{\times }$ מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של $F$. אם $D$ חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם $R$ חוג מקומי (בפרט: אם $R$ חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \operatorname {det} \,{:}\,\operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times }/[R^{\times },R^{\times }]} , המקיימת את התכונות הבאות:

1. אם $A'$ מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה $A$, אז $\operatorname {det} (A')=\operatorname {det} (A)$;
2. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A'} מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} בקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{det}(A') = a\operatorname{det}(A)} ;
3. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{det}(I) = 1} .

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה ליניארית.

מקורות

• J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, section 2.2.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28203506דטרמיננטת דיידונה