דטרמיננטת דיידונה

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דודונה שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי $ F $, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם $ \operatorname {GL} _{n}(F)\rightarrow F^{\times } $ מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של $ F $. אם $ D $ חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם $ R $ חוג מקומי (בפרט: אם $ R $ חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, $ \operatorname {det} \,{:}\,\operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times }/[R^{\times },R^{\times }] $, המקיימת את התכונות הבאות:

1. אם $ A' $ מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה $ A $, אז $ \operatorname {det} (A')=\operatorname {det} (A) $;
2. אם $ A' $ מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה $ A $ בקבוע $ a $, אז $ \operatorname {det} (A')=a\operatorname {det} (A) $;
3. $ \operatorname {det} (I)=1 $.

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם $ R $ חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה ליניארית.

מקורות

• J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, section 2.2.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

דטרמיננטת דיידונה28203506Q5275226