אקספוננט קריטי

אקספוננט קריטיים (או מעריכים קריטיים) הם מספרים המאפיינים מעברי פאזה מסדר שני (מעברי פאזה רציפים) במערכות תרמודינמיות. האקספוננטים הקריטיים מתארים באמצעות חוק חזקה את ההתנהגות של גדלים פיזיקליים שונים, כגון קיבול החום, המגנטיזציה ואורך הקורלציה, בסביבת הנקודה הקריטית. מעברי פאזה ואקספוננטים קריטיים מופיעים במערכות פיזיקליות רבות כגון מעבר נוזל-גז במים, מערכות מגנטיות, מוליכות-על, זרימה טורבולנטית, חלחול ועוד.

נהוג להניח כי אקספוננטים קריטיים הם אוניברסליים. כלומר, כי הם תלויים רק במאפיינים הכלליים של מערכת פיזיקלית, ולא תלויים בפרטים שמתארים את המערכת. לדוגמה, עבור מעברי פאזה במערכות פרומגנטיות, האקספוננטים הקריטיים תלויים רק בממדים של המערכת, בטווח של האינטראקציות בין חלקיקים במערכת ובספין של החלקיקים. נגיד כי שתי מערכות עם אותם מעריכים קריטיים שייכות לאותה מחלקת אוניברסליות. כלומר, כי המערכות שקולות ליד מעבר הפאזה.

תכונות אלו של אקספוננטים קריטיים נתמכות על ידי תוצאות נסיוניות. ניתן לחשב את האקספוננטים הקריטיים של מערכת באופן אנליטי באמצעות תורת השדה הממוצע או במקרים שבהם המערכת פתירה אנליטית, כגון מודל איזינג הדו-ממדי. ניתוח תאורטי במקרים רבים דורש להשתמש בגישה של חבורת הנרמול מחדש (renormalization group) או בשיטות של conformal bootsrap.

לאקספוננטים קריטיים יש בנוסף יישומים בגרפים אקראיים^[1].

הגדרה פורמלית

הפרמטר הנשלט במעברי פאזה הוא לרוב הטמפרטורה, אך הוא יכול להיות גם פרמטרים אחרים כגון שדה מגנטי חיצוני ולחץ. לשם פשטות, נעבוד בדיון זה במונחי הטמפרטורה. ההמרה לפרמטר נשלט אחר היא פשוטה. נניח כי מעבר הפאזה מתרחש בטמפרטורה קריטית $T_{C}$ . אנחנו רוצים לתאר את הפרמטר הפיזיקלי $f$ בסביבה של הטמפרטורה הקריטית באמצעות חוק חזקה. נגדיר את נגדיר את הטמפרטורה המצומצמת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = \frac{T-T_C}{T_C}} שהיא אפס בטמפרטורה הקריטית. באמצעותה, נגדיר את האקספונט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa} :הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}} מכך אנו מקבלים את חוק החזקה שחיפשנו:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(\tau\right)\propto\left|\tau\right|^{\kappa},\quad \tau\approx 0} באופן כללי, האקספוננט הקריטי הוא לא בהכרח זהה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau<0} ועבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau>0} .^[2] במקרה זה, נגדיר את האקספוננטים הקריטיים באמצעות הגבולות החד-צדדיים:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa' = \lim_{\tau\rightarrow 0^{-}}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|} ,\quad \kappa = \lim_{\tau\rightarrow 0^{+}}\frac{\ln\left|f\left(\tau\right)\right|}{\ln\left|\tau\right|}} יש לזכור כי חוק החזקה מתאר רק את ההתנהגות האסימפטוטית של הגודל הפיזיקלי ליד מעבר הפאזה, ולא מתאר אותו כתלות כללית.

אקספוננטים קריטיים חשובים

הגדרות
פרמטר פיזיקלי	הסבר
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi}	פרמטר הסדר. לדוגמה, המגנטיזציה עבור נקודת קירי, והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\rho-\rho_{C}}{\rho_{C}}} עבור מעבר בין נוזל לבין גז, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} הצפיפות. פרמטר הסדר מתאפס עבור טמפרטורות הגבוהות מהטמפרטורה הקריטית.
$\tau$	הפרמטר הנשלט (במקרה בו הפרמטר הנשלט הוא הטמפרטורה, הוא נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{T-T_{C}}{T_{C}}} ). הפרמטר מתאפס בנקודה הקריטית.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f}	אנרגיה חופשית סגולית. ייתכנו מעברי פאזה שבהם הפוטנציאל התרמודינמי הרלוונטי לבעיה הוא פוטנציאל שאינו האנרגיה החופשית, כגון האנרגיה החופשית של גיבס.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C}	קיבול חום כמוס. קיבול החום הכמוס נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C=-T\frac{\partial^{2}f}{\partial T^{2}}} .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J}	כוח מניע או שדה חיצוני. לדוגמה, הגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{P-P_{C}}{P_{C}}} עבור מעבר נוזל-גז, כשהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} הלחץ והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{C}} הלחץ הקריטי ושדה מגנטי חיצוני עבור נקודת קירי.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi}	ההיענות של המערכת לכוח המניע. עבור מעבר פרואלקטרי-פאראלקטרי, זוהי הסוספטביליות החשמלית. מוגדר על ידי $\chi ={\frac {d\Psi }{dJ}}$ .
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi}	אורך קורלציה. גודל זה מתאר את המרחק האופייני שבו ישנה קורלציה בין המשתנים מיקרוסקופיים של המערכת.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d}	מספר הממדים המרחביים של המערכת.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle\psi\left(\vec{x}\right),\psi\left(\vec{y}\right)\right\rangle}	פונקציית הקורלציה. פונקציית הקורלציה מתארת כיצד המצבים המיקרוסקופיים במיקומים שונים מתואמים. הגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi} מתאר את פונקציית הגל של המערכת.
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r}	מרחק מרחבי.

האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} מתאר את הקשר בין קיבול החום הסגולי לבין הטמפרטורה. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C\propto\left|\tau\right|^{-\alpha}} . כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} הוא חיובי, ולכן קיבול החום מתבדר בטמפרטורה הקריטית. התבדרות זו היא הסיבה לקיום של החום כמוס.
האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} מתאר את הקשר בין פרמטר הסדר לבין הטמפרטורה. בניגוד לשאר האקספוננטים הקריטיים, פרמטר הסדר מתאפס זהותית מעל הטמפרטורה הקריטית. לכן, עבור $\tau <0$ , פרמטר הסדר נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi\propto\left(-\tau\right)^{\beta}} , ועבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau\geq0} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi\equiv0} . בניגוד לרוב האקספוננטים הקריטיים, אנו מניחים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} חיובי על מנת שפרמטר הסדר יהיה רציף.
האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} מתאר את הקשר בין ההיענות של המערכת לכוח המניע לבין הטמפרטורה. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi\propto\left|\tau\right|^{-\gamma}} .
האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} מקשר בין הכוח המניע לבין פרמטר הסדר בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=0} מתקיים $J\propto \Psi ^{\delta }$ .
האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu} מקשר בין אורך הקורלציה לבין הטמפרטורה. כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi\propto\left|\tau\right|^{-\nu}} .
האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta} מקשר בין פונקציית הקורלציה לבין המרחק המרחבי בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=0} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle\psi\left(\vec{0}\right),\psi\left(\vec{r}\right)\right\rangle\propto r^{-d+2-\eta}} .

אקספוננטים קריטיים בתורת השדה הממוצע

ערכי האקספוננטים הקריטיים בתורת לנדאו הקלאסית (שידועה גם כתורת השדה הממוצע) עם שדה סקלרי נתונים על ידי:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = 0,\quad \beta =\frac{1}{2},\quad\gamma=1,\quad \delta =3} אם אנו מוסיפים איברי גזירה והופכים את התיאוריה לתורת גינזבורג-לנדאו, מתקבלים גם כן:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nu=\frac{1}{2},\quad\eta=0}

מימד קריטי עליון של תורת שדה ממוצע

האקספוננטים הקריטיים שמתקבלים באמצעות תורת השדה הממוצע נכונים עבור מימד שגדול מהמימד הקריטי העליון של מערכת. המימד הקריטי העליון עבור מעבר גז-נוזל הוא 4, עבור חלחול הוא 6, ועבור טורבלנטיות הוא ככל הנראה אינסופי^[3]. קרטיריון למציאת המימד הקריטי העליון של מערכת נוסחו בידי ויטאלי גינזבורג.

אקספוננטים קריטיים תחת הפרעות אקראיות

כאשר מודדים בניסוי את האקספוננטים הקריטיים, יש במערכת הפרעות אקראיות. כאשר מתחשבים בהשפעה של הפרעות אלו על המערכת, האקספוננטים הקריטיים המתקבלים מקיימיםהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0<\alpha<\frac{2}{3},\quad \beta=\frac{1}{3},\quad 1\leq\gamma<\frac{5}{3},\quad 3<\delta<6 } הערך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} והתחומים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha,\gamma,\delta} מתאימים לתוצאות ניסיוניות^[4].

אקספוננטים קריטיים במודל איזינג

מודל איזינג הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. מעבר הפאזה הפרומגנטי של מודל איזינג מגדיר חבורת אוניברסליות חשובה המכילה מגוון של מעברי פאזה. מודל איזינג הדו-ממדי פתיר באופן אנליטי, והאקספוננטים הקריטיים עבורו נתונים על ידי:^[5] $\alpha =0,\quad \beta ={\frac {1}{8}},\quad \gamma ={\frac {7}{4}},\quad \delta =15,\quad \nu =1,\quad \eta ={\frac {1}{4}}$ בשלושה ממדים, מודל איזינג אינו פתיר באופן אנליטי. ניתן להעריך את הערכים של האקספוננטים הקריטיים בו באמצעות שיטות נומרית. האקספוננטים הקריטיים עבור מודל זה נתונים על ידי:^[6]הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=0,\quad\beta=0.32653(10),\quad\gamma=1.2373(2),\quad\delta=4.7893(8),\quad\nu=0.63012(16),\quad\eta=0.03639(15)} המימד הקריטי העליון של מודל איזינג הוא 4, ולכן עבור ממדים יותר גבוהים האקספוננטים הקריטיים של מודל איזינג מזדהים עם האקספוננטים של תורת השדה הממוצע.

יחסי סקיילינג (Scaling Relations)

חוקי סקיילינג הם ביטוי של עקרונות פיזיקליים באמצעות שפה של פונקציות הומוגוניות^[7]. דוגמה חשובה לחוקי סקיילינג בתרמודינמיקה הם גדלים אקסטנסיביים ואינטנסיביים. אם מגדילים מערכת תרמודינמית בפקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} בלי לשנות את הגדלים האינטנסיביים שלה, אז כל הגדלים האקסטנסיביים, כגון האנרגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} , האנטרופיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} , הנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ומספר החלקיקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} גדלים בפקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} . כלומר, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S\left(E,V,N,\dots\right)} היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון. זהו חוק סקיילינג.

קרוב מספיק לנקודה הקריטית, אנו יכולים להגדיר משתנים תרמודינמיים חדשים המאפיינים את המערכת והם אינווריאנטיים לשינוי בסקאלה. את משתנים אלו ניתן להגדיר באמצעות האקספוננטים הקריטיים המגדירים חוקי חזקה בין המשתנים התרמודינמיים השונים. אלו הם למעשה חוקי סקיילינג. באמצעות חוקי הסקיילינג, ניתן למצוא קשרים בין האקספוננטים הקריטיים השונים.

יחסי סקיילינג (Scaling Relations)

האקספוננטים השונים מצייתים ליחסי סקיילינג. יחסי הסקיילינג מגדירים תלות פרמטרית בין האקספוננטים השונים. יחסי הסקיילינג הם:^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \gamma=\beta\left(\delta-1\right) \\ \alpha+2\beta+\gamma=2 \\ \left(2-\eta\right)\nu=\gamma \\ \nu-\eta=2-\alpha=\gamma+2\beta \\ d\nu=2-\alpha=\gamma+2\beta \\ 2-\eta=d\frac{\delta-1}{\delta+1} \end{matrix}} ניתן לראות מיחסים אלו כי ניתן לבטא את כל האקספוננטים הקריטיים באמצעות שני אקספוננטים קריטיים בלתי-תלויים.

פיתוח יחסי הסקיילינג

לצורך הדיון, נפתח יחס סקיילינג יחיד עבור המקרה של נקודת קירי. ניתן לפתח את יחסי הסקיילינג האחרים באמצעות עקרונות דומים.

לצורך הדיון, נתבונן על ההתנהגות הקריטית בנקודת קירי. עבור מעברי פאזה אחרים, הפיתוח הוא דומה. ליד נקודת קירי, השדה המגנטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} נתון על כפונקציה של המגנטיזציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} והטמפרטורה המצומצמת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} על ידי הקשר^[7]הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=M\left|M\right|^{\delta-1}j\left(\frac{M}{\left|\tau\right|^{\beta}}\right)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j\left(x\right)} היא פונקציה הומוגנית. עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau<0} והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=0} , נקבל מהמשוואה את הקשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M\propto\left(-\tau\right)^{\beta}} . בנוסף, עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=0} נקבל את הקשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H\propto\left|M\right|^{\delta}} . מכאן נזהה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta} והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta} כאקספוננטים הקריטיים שהגדרנו.

הסוספטביליות מוגדרת על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi=\left(\frac{\partial M}{\partial H}\right)_{\tau}} . מאחר שהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} והפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} הן פונקציות מצב, ניתן לרשוםהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi^{-1}=\left(\frac{\partial H}{\partial M}\right)_{\tau}= \delta M\left|M\right|^{\delta-2}j\left(\frac{M}{\left|\tau\right|^{\beta}}\right) +M\left|M\right|^{\delta-1}\left|\tau\right|^{-\beta}j'\left(\frac{M}{\left|\tau\right|^{\beta}}\right)} אם נדרוש כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H=0} , וניזכר כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M\propto\left(-\tau\right)^{\beta}} , נקבל מהמשוואה לעיל כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi\propto \left|\tau\right|^{-\beta\left(\delta-1\right)}} . לפי הגדרת האקספוננט הקריטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi\propto\left|\tau\right|^{-\gamma}} . מכך נובע יחס הסקיילינג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma=\beta\left(\delta-1\right)} .

אקספוננטים קריטיים דינמיים

האקספוננטים הקריטיים שדנו בהם עד כה עסקו בגדלים בשיווי משקל תרמודינמי. אולם, בנקודה הקריטית יכולה להיות גם התנהגות קריטית של התכונות הדינמיות של המערכת. לדוגמה, הזמן האופייני של דעיכת הפרעות אקראיות במערכת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{\mathrm{char}}} מציית ליד הנקודה הקריטית לחוק החזקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_{\mathrm{char}}\propto\left|\tau\right|^{-\nu z}} . ניתן להרחיב את חבורות האוניברסליות הסטטיות כך שהן יכללו גם את האקספוננטים הקריטיים הדינמיים.

עבור חבורת האוניברסליות של מודל איזינג בשלושה ממדים, הערך של האקספוננט הקריטי הדינאמי הוא $z=2.0245(15)$ ^[14].

הערות שוליים

↑ Sander Dommers, Cristian Giardinà, Remco van der Hofstad, Ising critical exponents on random trees and graphs, arXiv:1211.3005 [cond-mat, physics:math-ph], 2012-11-13
↑ Frédéric Léonard, Bertrand Delamotte, Critical exponents can be different on the two sides of a transition: A generic mechanism, Physical Review Letters 115, 2015-11-10, עמ' 200601 doi: 10.1103/PhysRevLett.115.200601
↑ Armin Bunde, Shlomo Havlin, Fractals and Disordered Systems, Berlin, Heidelberg: Springer, 1996, עמ' 59–114, מסת"ב 978-3-642-84868-1. (באנגלית)
↑ Ruikuan Liu, Tian Ma, Shouhong Wang, Jiayan Yang, DYNAMIC THEORY OF FLUCTUATIONS AND CRITICAL EXPONENTS OF THERMODYNAMIC PHASE TRANSITIONS, 2019-07, עמ' 30
↑ Michael E. Fisher, Rigorous Inequalities for Critical-Point Correlation Exponents, Physical Review 180, 1969-04-10, עמ' 594–600 doi: 10.1103/PhysRev.180.594
↑ Massimo Campostrini, Andrea Pelissetto, Paolo Rossi, Ettore Vicari, 25th-order high-temperature expansion results for three-dimensional Ising-like systems on the simple-cubic lattice, Physical Review E 65, 2002-06-27, עמ' 066127 doi: 10.1103/PhysRevE.65.066127
^ ^7.0 ^7.1 Benjamin Widom, Scaling laws, Scholarpedia 4, 2009-10-20, עמ' 9054 doi: 10.4249/scholarpedia.9054
↑ B. Widom, Degree of the Critical Isotherm, The Journal of Chemical Physics 41, 1964-09-15, עמ' 1633–1634 doi: 10.1063/1.1726135
↑ John W. Essam, Michael E. Fisher, Padé Approximant Studies of the Lattice Gas and Ising Ferromagnet below the Critical Point, The Journal of Chemical Physics 38, 1963-02-15, עמ' 802–812 doi: 10.1063/1.1733766
↑ Michael E. Fisher, Correlation Functions and the Critical Region of Simple Fluids, Journal of Mathematical Physics 5, 1964-07-01, עמ' 944–962 doi: 10.1063/1.1704197
↑ B. Widom, Surface Tension and Molecular Correlations near the Critical Point, The Journal of Chemical Physics 43, 1965-12-01, עמ' 3892–3897 doi: 10.1063/1.1696617
↑ P G Watson, Critical behaviour of boundary susceptibility and boundary tension, Journal of Physics C: Solid State Physics 1, 1968-02-01 doi: 10.1088/0022-3719/1/1/131/meta
↑ G. Stell, Extension of the Ornstein-Zernike Theory of the Critical Region, Physical Review Letters 20, 1968-03-11, עמ' 533–536 doi: 10.1103/PhysRevLett.20.533
↑ Martin Hasenbusch, The dynamic critical exponent $z$ of the three-dimensional Ising universality class: Monte Carlo simulations of the improved Blume-Capel model, Physical Review E 101, 2020-02-24, עמ' 022126 doi: 10.1103/PhysRevE.101.022126

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אקספוננט קריטי30330490Q901927

[1] Sander Dommers, Cristian Giardinà, Remco van der Hofstad, Ising critical exponents on random trees and graphs, arXiv:1211.3005 [cond-mat, physics:math-ph], 2012-11-13

[2] Frédéric Léonard, Bertrand Delamotte, Critical exponents can be different on the two sides of a transition: A generic mechanism, Physical Review Letters 115, 2015-11-10, עמ' 200601 doi: 10.1103/PhysRevLett.115.200601

[3] Armin Bunde, Shlomo Havlin, Fractals and Disordered Systems, Berlin, Heidelberg: Springer, 1996, עמ' 59–114, מסת"ב 978-3-642-84868-1. (באנגלית)

[4] Ruikuan Liu, Tian Ma, Shouhong Wang, Jiayan Yang, DYNAMIC THEORY OF FLUCTUATIONS AND CRITICAL EXPONENTS OF THERMODYNAMIC PHASE TRANSITIONS, 2019-07, עמ' 30

[5] Michael E. Fisher, Rigorous Inequalities for Critical-Point Correlation Exponents, Physical Review 180, 1969-04-10, עמ' 594–600 doi: 10.1103/PhysRev.180.594

[6] Massimo Campostrini, Andrea Pelissetto, Paolo Rossi, Ettore Vicari, 25th-order high-temperature expansion results for three-dimensional Ising-like systems on the simple-cubic lattice, Physical Review E 65, 2002-06-27, עמ' 066127 doi: 10.1103/PhysRevE.65.066127

[:0-7] 7.0 ^7.1 Benjamin Widom, Scaling laws, Scholarpedia 4, 2009-10-20, עמ' 9054 doi: 10.4249/scholarpedia.9054

[8] B. Widom, Degree of the Critical Isotherm, The Journal of Chemical Physics 41, 1964-09-15, עמ' 1633–1634 doi: 10.1063/1.1726135

[9] John W. Essam, Michael E. Fisher, Padé Approximant Studies of the Lattice Gas and Ising Ferromagnet below the Critical Point, The Journal of Chemical Physics 38, 1963-02-15, עמ' 802–812 doi: 10.1063/1.1733766

[10] Michael E. Fisher, Correlation Functions and the Critical Region of Simple Fluids, Journal of Mathematical Physics 5, 1964-07-01, עמ' 944–962 doi: 10.1063/1.1704197

[11] B. Widom, Surface Tension and Molecular Correlations near the Critical Point, The Journal of Chemical Physics 43, 1965-12-01, עמ' 3892–3897 doi: 10.1063/1.1696617

[12] P G Watson, Critical behaviour of boundary susceptibility and boundary tension, Journal of Physics C: Solid State Physics 1, 1968-02-01 doi: 10.1088/0022-3719/1/1/131/meta

[13] G. Stell, Extension of the Ornstein-Zernike Theory of the Critical Region, Physical Review Letters 20, 1968-03-11, עמ' 533–536 doi: 10.1103/PhysRevLett.20.533

[14] Martin Hasenbusch, The dynamic critical exponent $z$ of the three-dimensional Ising universality class: Monte Carlo simulations of the improved Blume-Capel model, Physical Review E 101, 2020-02-24, עמ' 022126 doi: 10.1103/PhysRevE.101.022126

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

מכניקה סטטיסטית
תאוריה	עקרון גידול האנטרופיה • ergodic theory
תרמודינמיקה סטטיסטית	צברים • פונקציית חלוקה • משוואות מצב • פוטנציאלים תרמודינמיים: (U • H • F •‏ G) • קשרי מקסוול
מודל סטטיסטי	Ferromagnetism models (איזינג • פוטס • הייזנברג • חלחול ^EN) • חלקיקים בעלי שדה כוחות (כוחות דלדול ^EN • פוטנציאל לנארד-ג'ונס)
גישות מתמטיות	משוואת בולצמן • משפט־H • משוואת ולסוב • מדרג BBGKY • תהליך סטוכסטי • תורת שדה ממוצע ותורת השדות הקונפורמית
תופעות קריטיות	מעבר פאזה • אקספוננט קריטי (מרחק קורלציה • size scaling)
אנטרופיה	בולצמן • שאנון • צאליס • רניי • פון נוימן
יישומים	תורת השדות הסטטיסטית (חלקיקים יסודיים • נוזלי־על) • פיזיקה של חומר מעובה • מערכות מורכבות (כאוס • תורת האינפורמציה • אנטרופיה בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה • מכונת בולצמן)

אקספוננט קריטי

תוכן עניינים

הגדרה פורמלית

אקספוננטים קריטיים חשובים