מודל איזינג

מודל איזינג (על שם ארנסט איזינג) הוא מודל מתמטי בפיזיקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. זהו המודל הראשון (והפשוט ביותר) במשפחה רחבה של מודלים מבוססי ספין, אשר מתארים את התנהגותם של חומרים פרומגנטיים בטמפרטורות ושדות מגנטיים שונים. המודל משמש גם לתיאור מערכות שונות שאינן מגנטיות ומשמש מודל חשוב בתחומי מעברי הפאזה.

את המודל פיתח וילהלם לנץ אשר נתן אותו לתלמידו ארנסט איזינג כנושא מחקר לדוקטורט. ב-1925 איזינג, שעל שמו קרוי המודל, פתר את המודל עבור ממד אחד ומצא שלא מתקבל בו מעבר פאזה בטמפרטורה סופית . על סמך זאת הסיק איזינג בטעות כי במודל לא מתרחש מעבר פאזה גם בממד גבוה יותר. מאוחר יותר, ב-1944 הוכיח לארס אונסגר כי במודל איזינג דו-ממדי מתקבל מעבר פאזה. תוצאה זו נחשבת לחשובה מאד בתחום הפיזיקה הסטטיסטית בפרט ובתחום הפיזיקה התאורטית בכלל.

תיאור המודל

הנחות יסוד

המודל מניח כי בכל נקודת סריג מצוי מומנט מגנטי, או 'ספין' S, אשר ערכו הוא בינארי (לרוב מיוצג בתור ‎+1 ו־‎-1), כאשר בייצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה". הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטראקציה ביניהם.

תנאי השפה בבעיה לרוב נלקחים כמחזוריים, כדי להתקרב לגבול התרמודינמי של מערכת אינסופית.

האינטראקציה

המילטוניאן האינטראקציה במודל איזינג, ללא שדה מגנטי חיצוני, מתואר על ידי:

${\mathcal {H}}=-g\sum _{<i,j>}{S_{i}}{S_{j}}$.

כאשר g הוא קבוע בעל יחידות אנרגיה הנקרא "אנרגיית הקשר". הסכימה היא על כל זוגות הספינים השכנים i,j.

מהתבוננות בהמילטוניאן, רואים שערך אנרגיית הקשר בין שני ספינים סמוכים הוא בינארי - אם שני הספינים מצביעים באותו כיוון אנרגיית הקשר היא g- ואם הם מצביעים בכיוונים מנוגדים אנרגיית הקשר g+. מכאן, בהכרח קיים מספר סופי של מצבי אנרגיה עבור ספין מסוים ושכניו הקרובים. לדוגמה, עבור ספין בסריג דו-ממדי ריבועי (בו ישנם ארבעה שכנים קרובים), ייתכנו רק 5 ערכי אנרגיה לאינטראקציה בין הספין ושכניו. לעובדה זו חשיבות מכרעת לפתרון המודל.

בתוספת שדה מגנטי חיצוני, מתווסף לאנרגיה איבר אינטראקציה של מומנט מגנטי עם שדה חיצוני.

פתרון המודל

כמו בבעיות אחרות שבהן מטפלת הפיזיקה הסטטיסטית, פתרון ישיר של משוואות התנועה במודל איזינג אינו ישים עבור מערכת גדולה, בשל הדרישה (ממשוואות המילטון) לפתרון שתי משוואות דיפרנציאליות לכל נקודת סריג, כלומר מספר עצום של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. לכן פתרון המודל משמעו חישוב הגדלים התרמודינמיים המקרוסקופיים של מערכת כזו, כגון אנרגיה חופשית, קיבול חום סגולי ומגנטיזציה, כתלות בטמפרטורה ובשדה המגנטי החיצוני. מגדלים אלו ניתן למצוא את טמפרטורת מעבר הפאזה והאקספוננטים הקריטיים השונים בסביבות מעבר הפאזה.

עבור שרשרת איזינג בממד אחד אין מעבר פאזה, כך שבכל טמפרטורה (שונה מאפס) המערכת היא פרומגנט. למערכת דו-ממדית ומעלה בעלת אינטראקציה כזו יהיה מעבר פאזה יחיד מסדר שני, מפאזה לא-סדורה (פרומגנט) לפאזה סדורה (פאראמגנט), בטמפרטורה קריטית מסוימת. מעבר שכזה ילווה בהתבדרות של החום הסגולי (או מקסימום חד, במערכת סופית).

מודל איזינג עבור המקרה הדו-ממדי (ללא שדה חיצוני) נפתר באופן אנליטי בסביבות הנקודה הקריטית של מעבר הפאזה על ידי לארס אונסגר בשנת 1944.

המודל התלת-ממדי לא נפתר אנליטית, אולם קיים מגוון רחב של שיטות לפתרונו באופן נומרי עבור גבישים בגודל סופי. גדלים אלו שונים מהותית מהגדלים עבור סריג אינסופי, אולם ניתן למצוא את הגדלים בגבול האינסופי על ידי ביצוע סימולציות רבות בגדלי סריג משתנים, וידיעה של התנהגות גדלים אלו כתלות בגודל הסריג (תהליך זה נקרא finite size scaling).

מרבית השיטות הנומריות משתמשות בסימולציה סטטיסטית (שיטת מונטה-קרלו) המחולקת לצעדי זמן, שבה לכל ספין בצעד זמן נתון ישנו סיכוי לשנות את מצבו, כאשר ההסתברות לעבור למצב כלשהו (מבין שני המצבים האפשריים) נקבעת לפי האנרגיה שתהיה לספין ולשכניו במצב זה. מאחר שמספר החלקיקים במערכת כזו קבוע, התפלגות בולצמן מתארת בצורה טובה את הסתברות המעבר למצב חדש עם אנרגיה נתונה. מאחר שמספר מצבי האנרגיה האפשריים הוא סופי, ניתן לבנות בהתאם להתפלגות טבלה של הסתברויות מעבר כתלות במצב השכנים של ספין מסוים. באופן זה, לכל ספין נדרשת הגרלה של מספר אקראי יחיד, כך שהסימולציה אינה יקרה בזמן מעבד. ניתן לחסוך זמן מעבד נוסף על ידי היפוך של קבוצות ספינים שאין ביניהם אינטראקציה באופן סימולטני.

יישום למודל: מציאת הטמפרטורה בה חומר מאבד את תכונותיו המגנטיות

ניתן לקבוע בקירוב טוב את השדה המגנטי B שיוצר חומר מגנטי בטמפרטורה T לפי התפלגות בולצמן. בהינתן $N^{+}$ אטומים שווקטור המומנט המגנטי שלהם מצביע בכיוון השדה המגנטי העצמי של החומר ו-$N^{-}$ אטומים שווקטור המומנט המגנטי שלהם מצביע בכיוון הפוך לכוון השדה המגנטי, השדה המגנטי שנוצר הוא $(N^{+}-N^{-})\mu _{0}\mu {\frac {\rho }{m}}$ (1), כאשר μ המומנט המגנטי של אטום בודד, ρ צפיפות החומר ,m מסת אטום בודד ו-$\mu _{0}$ פרמיבליות הריק. לפי התפלגות בולצמן של רמות אנרגיה: נקבל שהיחס בין ⁺N ל-N^- הוא : ${\frac {N^{+}}{N^{-}}}=e^{\frac {\mu B}{kT}}$ (2) כאשר k קבוע בולצמן. נציב את 1 ב-2 ונקבל: ^{${\frac {N^{+}}{N^{-}}}=e^{\mu (N^{+}-N^{-})\mu _{0}\mu {\frac {\rho }{m}}{\frac {1}{kt}}}$}

פתרון נומרי של המשוואה נותן בקירוב טוב את N⁺ ו-N^- ואת השדה המגנטי B בטמפרטורה T. בנקודת טמפרטורת איבוד המגנטיות מתקיים שהשדה המגנטי העצמי שנוצר על ידי שינוי אקראי קטן בערך $N^{+}-N^{-}$ לא חזק מספיק כדי לשמור על האטומים שמצביעים בכיוונו מצביעים בכיוונו, כלומר בניסוח מתמטי: 1=(N+1)/(1-N) = N⁺/N^- > e^{((μN+- N- )*μ₀μ*ρ/m))/kT}) ובנקודה הקריטית T_C מתקיים שוויון עבור קירוב מהסדר הראשון של האקספוננט $x+1=e^{x}$. מכאן נקבל: (1+N)/(1-N) = 1+ N/kT_C 2* ρ/m*μ²מכאן נקבל: N/(1 – N) 2 + 1 = 1+ N/kT_C 2* ρ/m*μ²מכאן:N) = 2 N - 1)N/kT_C 2* ρ/m*μ^2 מכאן נקבל: ρμ₀μ²/m=kT_C ולכן: ρ/m(μ₀μ²)/k = T_C.

לצורך בדיקה ניקח את הדוגמה של ברזל. לאטום ברזל מומנט מגנטי J/T (22-)^10 * 3.5785 = μ (זהו ערך מוערך ולא מדויק), מסה *10^(-26 ) kg 9.273 = m ולברזל צפיפות: 7874kg/m^3. מכאן נקבל:

T_C = 990K בעוד הערך האמיתי של טמפרטורת קירי של ברזל עומד על 1043k ולכן זהו קירוב טוב.

מודלים דומים

מודל איזינג הוא מודל פשטני ביותר לתיאור פרומגנט. קיימים מודלים רבים ומורכבים יותר, אשר בהם לספינים רמות חופש נוספות, החל ממספר מצבים גדול יותר מ-2 (מודל פוץ) וכלה בחופש מרחבי מוחלט (מודל הייזנברג).

שימושים מחוץ לפיזיקה

בשל אופיו הבינארי הפשוט, מודל איזינג הוא שיטה נוחה לפתרון בעיות אופטימיזציה. הפרמטרים השונים של הבעיה ממודלים לספינים על גביש, כאשר עוצמת הקשר ביניהם וקרבתם נקבעים לפי תנאי הבעיה, ופונקציית המחיר היא השקול לאנרגיה. למערכת כזו נותנים להתייצב במינימום האנרגיה, וכך מקבלים פתרון אופטימלי. שיטה זו ידועה בשם simulated annealing.

ראו גם

• מודל המוצק של איינשטיין

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מודל איזינג בוויקישיתוף