אי-שוויונות עקבה

במתמטיקה, אי שוויונות עקבה הוא שם כולל לאוסף אי-שוויונות העוסקים במטריצות, ולכן גם באופרטורים הליניארים שמייצגות, המוגדרות מעל מרחבי הילברט. אי-שוויונות אלה בפרט מתעסקים בעקבה של מטריצות ומספקים חסמים על העקבה תחת הנחות מסוימות.

העקבה של מטריצה ידועה להיות ערך שאינו תלוי בבחירת הבסיס מה שהופך אותה להיות בעלת חשיבות רבה לחקר אופרטורים (שכן מקודדת בתוכה מידע שאינו תלוי בבסיס הנבחר). בנוסף לעקבה של מטריצה יש קשר ישיר לספקטרום שלה מהיותה שווה לסכום הערכים העצמיים של המטריצה. תכונות אלה ועוד הופכות את אי-שוויונות העקבה לכלי שימושי וחשוב בחקר אופרטרים ולמידתם.

אי שוויונות עקבה הם כלי שימושי בתחומים רבים כמו תורת הבקרה, תורת האינפורמציה הקוונטית, מערכות תקשורת ו-פונקציות מטריציאליות.

הגדרות רלוונטיות

פונקציות מטריציאליות

ערך מורחב – פונקציה מטריציאלית

נרצה קודם להגדיר היטב הפעלה של פונקציה $f$ על מטריצה $A$. כדי לבצע זו בצורה בעלת עניין נגביל את עצמנו קודם לאוסף המטריצות ההרמטיות החיוביות ${\mathbf{𝐇}}_n$, שלפי משפט הפירוק הספקטרלי הן מטריצות לכסינות מה שמאפשר להשתמש בהגדרה הבאה:

יהי $f:I\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה ממשית, אז $f(A)$ (כאשר $A$ מטריצה הרמטית עם ערכים עצמיים ב-$I$ ו-$P_j$ הטלות למרחבים העצמיים של המטריצה) מוגדר כ:$$f(A)\equiv \sum _{j}f({\lambda }_j)P_j$$

יחס סדר חלקי ומונוטוניות האופרטור

לאורך הערך נניח יחס סדר חלקי על הקבוצה ${\mathbf{𝐇}}_n$ כך ש $A\ge B$ גורר שהאופרטור $A-B\ge 0$ מוגדר חיובית.

עם הגדרה זו ביד קל להגדיר מונוטניות לפונקציה מטריציאלית $f:I\to \mathbb{ℝ}$ אם לכל $A,B\in {\mathbf{𝐇}}_n$ וערכים עצמיים ב$I$ ישנה הגרירה: $$A\ge B\to f(A)\ge f(B)$$.

$f$ כזו תיקורא אופרטור מונוטוני. אמנם הגדרת המונוטוניות לאופרטורים נראית די שקולה להגדרה עבור פונקציות ממשיות אך ניתן לראות שהיא לפעמים נוגדת את האינטואציה שכן $f(A)=A^2$ אינו אופרטור מונוטוני.

אופרטור קמור

פונקציה $f:I\to \mathbb{ℝ}$ נקראת אופרטור קמור אם לכל $A,B\in {\mathbf{𝐇}}_n$ עם ערכים עצמים ב- $I$, ו-$0<\lambda <1$ התנאי הבא קורה: $$f(\lambda A+(1-\lambda )B)\le \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B)$$

$f$ נקראת אופרטור קעור אם $-f$ אופרטור קמור.

אי-שוויון גולדן-תומפסון

אי-שוויון גולדן-תומפסון הוכח באופן עצמאי על ידי גולדן (1965) ותומפסון (1965) בהקשר של מכניקה סטטיסטית.

יהי $A,B\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}$ מטריצות הרמטיות אזי מתקיים אי השוויון הבא:

$$\text{Tr}{e}^{A+B}\le \text{Tr}(e^A{e}^B)$$

יש להבחין שהאי-שוויון מוגדר היטב שכן שני הביטויים מובטחים להיות מספרים ממשיים. עבור צד שמאל קל לראות זאת שכן $A,B$ הרמטיות ולכן האלכסון שלהם ממשי, עבור צד ימין ניתן להשתמש בעובדה שעבור מכפלה של 3 מטריצות סימטריות העקבה אינווריאנטית לפרמוטציות ולכן:

$\text{Tr}(e^A{e}^B)=\text{Tr}(e^{A/2}{e}^{A/2}{e}^B)=\text{Tr}(e^{A/2}{e}^B{e}^{A/2})$

וקיבלנו שהביטוי בתוך העקבה הוא הרמטי שכן $A,B$ הרמטיות ובנוסף $e^{A^{*}}=(e^A{)}^{*}$ .

דרך נוספת לתיאור האי-שוויון היא בעזרת נורמת פרובניוס שמוגדרת להיות: $\Vert A{\Vert }_F=\sqrt{\text{Tr}(A^{*}A)}$ ואז אי-שוויון גולדן תומפסון שקול ל:

$$\Vert e^{A+B}{\Vert }_F\le \Vert e^A{e}^B{\Vert }_F$$

דבר מפתיע באי שוויון זה שאין שום הנחה על קומוטטיביות של המטריצות. עבור מטריצות הרמטיות וקומוטטיביות מתקיים שוויון $e^{A+B}=e^A{e}^B$, גולדן-תומפסון מראה שאם מורידים את דרישת הקומוטטיביות עדיין יש קשר בין שני ערכים אלה.

ההוכחה היא יישום של רעיון כללי יותר להוכחות אי-שוויונות בשם "טריק חזקות הטנזורים". בגישה זו רוצים להוכיח $X\le Y$ עבור $X,Y$ אי-שלילים אך יודעים רק להוכיח אי שוויונות חלשים יותר מהצורה $X\le CY$ עד לכדי גורם כפלי $C$ כלשהו. מפה הרעיון הוא להחליף את כל האובייקטים באי השוויון בחזקות של עצמם כדי להגיע לצורה של: $X^M\le C{Y}^M$ כאשר $C$ אינו תלוי ב$M$. לאחר מכן מפעילים גבול כאשר $M\to \mathrm{\infty }$ על $X\le C^{\frac{1}{M}}Y$ כדי להגיע לאי השוויון הנדרש.

סקיצה של ההוכחה

נגדיר את נורמת סקאטן: $\Vert A{\Vert }_p=(\text{Tr}((A{A}^{*}{)}^{p/2}){)}^{1/p}$ עבור $p$ זוגי. דרך אחת להסתכל על נורמה זו היא כהכללה לא קומוטטיבית של נורמת ${\ell }^p$ המוכרת (לדוגמה עבור מטריצות אלכסוניות הנורמה של המטריצה מסכימה עם נורמת ${\ell }^p$ של אלכסון המטריצה). כעת נסתכל ספציפית על $\Vert A{\Vert }_2=(\text{Tr}(A{A}^{*}){)}^{1/2}$ ששקולה לנורמת פרובניוס שהראנו למעלה. נורמה זו מושרת מהמכפלה הפנימית $⟨A,B⟩=\text{Tr}(A{B}^{*})$. על ידי הפעלה של אי-שוויון קושי-שוורץ ניתן לקבל $|\text{Tr}(A_1{A}_2)|\le \Vert A_1{\Vert }_2\Vert A_2{\Vert }_2$. על ידי הפעלה חוזרת של אי שוויון זה ניתן לקבל את אי-שוויון הולדר הלא קומוטטיבי: $$|\text{Tr}(A_1{A}_2\dots A_p)|\le \Vert A_1{\Vert }_p\Vert A_2{\Vert }_p\dots \Vert A_p{\Vert }_p$$ עבור $p$ חזקה של 2. (הרעיון הוא לבצע אינדוקציה על $p$, על ידי חלוקת $A_1,\cdots ,A_p$ ל$p/2$ לזוגות ושימוש בתכונות העקבה). מכאן מפעילים את אי-השוויון על $A_1=A_2=\dots =A_p=AB$ עבור מטריצות הרמטיות $A,B$ כדי לקבל: $$\text{Tr}((AB{)}^p)\le \Vert AB{\Vert }_p^p$$ על ידי שימוש באינווריאנטיות העקבה לפרמוטציות סיבוביות ניתן להסיק כי $\text{Tr}((AB{)}^p)\le \text{Tr}((A^2{B}^2{)}^{p/2})$. הפעלה חוזרת של שיטה זו מניבה $\text{Tr}((AB{)}^p)\le \text{Tr}(A^p{B}^p)$. כעת נחליף את $A,B$ ב-$e^{A/p},e^{B/p}$ ונגיע ל $\text{Tr}((e^{A/p}{e}^{B/p}{)}^p)\le \text{Tr}(e^A{e}^B)$. השלב הבא בהוכחה הוא מעבר גבולי מאוסף האי שוויוניות שהשגנו שתלויים ב-$p$ לאי שוויון הרצוי. נזכור כי $e^{A/p}=1+A/p+O(1/p^2)$ ובאופן דומה $e^{B/p}=1+B/p+O(1/p^2)$. על ידי הכפלת הגורמים נסיק כי $e^{A/p}{e}^{B/p}=e^{(A+B)/p}+O(1/p^2)$. לכן קיבלנו אוסף של אי שוויונות מהצורה: $$\text{Tr}(e^{A+B+O(1/p)})\le \text{Tr}(e^A{e}^B)$$ על ידי הפעלת הגבול $p\to \mathrm{\infty }$ מקבלים את אי שוויון גולדן-תומפסון.

שימושים של אי-שוויון גולדן-תומפסון בהסתברות רב ממדית

אי שוויונות ריכוז בהסתברות הן אי שוויונות המתעסקים בסטייה של התפלגות מהתוחלת. אי שוויונות אלה בעלי חשיבות גבוהה שכן הם באים לכמת את משפט הגבול המרכזי ומספקים הבנה על קצב ההתכנסות דבר שחשוב ביישומים פרקטים. שיטה שימושית לגזור תוצאות אלה היא בעזרת פונקציה יוצרת מומנטים של המשתנה המקרי. גולדן-תומפסון בעצם מאפשר להרחיב את שיטה זו למטריצות.

דוגמה שתמחיש את רעיון היא אי-שוויון צ'רנוף: יהי $X_1,\dots ,X_n$ משתנים מקריים סקלרים המתפלגים בהתפלגות זהה באופן בלתי תלוי עם ערכים ב$[-1,1]$ עם תוחלת 0 ושונות ${\sigma }^2/N$ אזי:

$$P(X_1+\dots +X_N\ge \lambda \sigma )\le \max \{e^{-{\lambda }^2/4},e^{-\lambda \sigma /2}\}$$

עבור $\lambda >0$. הצעד הראשון בהוכחה הוא שימוש באי-שוויון מרקוב על מנת לקבל:

$$P(X_1+\dots +X_N\ge \lambda \sigma )\le e^{-t\lambda \sigma }\mathbf{𝐄}[e^{t(X_1+\dots +X_N)}]$$ כאשר $t>0$ הוא פרמטר כלשהו שיש בחירה עליו. פה בעצם מגיע החלק שאי שוויון גולדן-תומפסון חשוב.

במקרה של משתנים מקריים סקאלרים ניתן לפרק את $e^{t(X_1+\dots +X_n)}$ למכפלה של $e^{t{X}_1},\dots ,e^{t{X}_N}$ ובגלל ההנחה שהמשתנים בלתי תלויים ניתן לפרק את כל הביטוי שבצד ימין למעלה ל: $e^{-t\lambda \sigma }(\mathbf{𝐄}[e^{t}X]{)}^N$ ולגזור חסם על הפונקציה היוצרת מומנטים.

כאשר רוצים להרחיב את התוצאה הזו למטריצות הרמטיות אם אין את הנחת הקומוטטיביות האקסופננט לא מתפרק באופן דומה. לכן במקום זאת חוסמים ביטוי מהצורה $\mathbf{𝐄}[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots +X_N)})]$ בעזרת גולדן-תומפסון ומקבלים: $$\mathbf{𝐄}[\text{Tr}(e^{t(X_1+\dots +X_{N-1})}{e}^{t{X}_N})]$$

מהנחת האי-תלות ניתן לפרק את הביטוי ל:

$$\text{Tr}(\mathbf{𝐄}(e^{t(X_1+\dots +X_{N-1})})\mathbf{𝐄}(e^{t{X}_N}))$$

על ידי שימוש בהנחה שהמטריצות חיוביות ובאבחנה ש $\text{Tr}(AB)=⟨A,B{⟩}_F$ ניתן להפעיל אי שוויון קושי שוורץ ולקבל חסם מהצורה:

$$\Vert \mathbf{𝐄}(e^{t{X}_n}){\Vert }_{\text{F}}\text{Tr}(\mathbf{𝐄}{e}^{t(X_1+\dots +X_{N-1})})$$

על ידי הפעלה חוזרת של שלב זה ניתן לקבל את אי השוויון הנדרש:

$$\mathbf{𝐄}(\text{Tr}{e}^{t(X_1+\dots +X_N)})\le \Vert \mathbf{𝐄}{e}^{tX}{\Vert }_F^N$$

ומפה ההוכחה כבר זהה למקרה הסקאלרי (חסימת הפונקציה היוצרת מומנטים). כלומר גולדן-תומפסון מאפשר להתמודד עם חיסרון הקומוטטיביות כדי לפרק את האקספוננט.

אי-שוויון העקבה של פון נוימן

יהי $A,B\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}$ מטריצות מרוכבות עם ערכים סינגולרים ${\alpha }_1\ge {\alpha }_2\ge \dots \ge {\alpha }_n$ ו- ${\beta }_1\ge {\beta }_2\dots \ge {\beta }_n$ בהתאמה. אז מתקיים:

$$|\text{Tr}(AB)|\le \sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\beta }_i$$

כאשר שוויון קורה אם ורק אם $A,B$ בעלי ערכים סינגולרים זהים. אי שוויון זה נקרא אחר ג'ון פון נוימן שהוכיח אותו ב-1937.

הוכחה

הערה: הוכחה זו עושה שימוש בפירוק הסינגולרי אך ישנן דרכים נוספות. יהי $A,B\in {\mathbb{ℂ}}^{n\times n}$ מטריצות מרוכבות עם פירוק לערכים סינגולריים $A=U_{A}D{V}_A^{*},B=U_{B}S{V}_B^{*}$ בהתאמה כאשר $D,S$ מטריצות אלכסוניות עם הערכים הסינגולרים על האלכסון ו$U_A,V_A,U_B,V_B$ מטריצות אוניטריות. ניתן לעשות רדוקציה של אי השוויון על ידי שימוש בפירוק הסינגולרי ובתכונת העקבה $\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(BA)$: $$\text{Tr}(AB)=\text{Tr}(U_{A}D{V}_A^{*}{U}_{B}S{V}_B)=\text{Tr}(D{V}_A^{*}{U}_{B}S{V}_B{U}_A)=|\text{Tr}(DUS{V}^{*})|\le \sum _i{\sigma }_i{\beta }_i=\text{Tr}(DS)$$ לכן פישטנו את אי השוויון לצורה $|\text{Tr}(DUS{V}^{*})|\le \text{Tr}(DS)$ עבור $U,V$ אוניטריות (ישנו שימוש בעובדה שמטריצות אוניטריות סגורות תחת כפל כדי לפשט את הביטוי). נגדיר $P_k=I_k\oplus 0_{n-k}$ (כלומר אופרטור הטלה ל${\mathbb{ℂ}}^k$) ונבחין כי ניתן לכתוב אופרטור אלכסוני $D=\text{diag}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ כצירוף ליניארי של הטלות אורתוגונליות $P_k$: $$D=({\alpha }_1-{\alpha }_2)P_1+\dots +({\alpha }_{n-1}-{\alpha }_n)P_{n-1}+{\alpha }_n{P}_n$$ לצורך נוחות נסמן $$D=\sum _i{a}_k{P}_k,S=\sum _k{b}_k{P}_k$$ עבור $a_k={\alpha }_k-{\alpha }_{k+1},b_k={\beta }_k-{\beta }_{k+1}\ge 0$ ונציב בשני צדדי האי-שוויון: $$|\text{Tr}(DUS{V}^{*})|=|\text{Tr}(\left(\sum _k{a}_k{P}_k\right)U\left(\sum _{\ell }{b}_{\ell }{P}_{\ell }\right)V^{*})|=|\sum _{k,\ell }{a}_k{b}_{\ell }\text{Tr}(P_{k}U{P}_{\ell }{V}^{*}))|$$ $$\text{Tr}(DS)=\text{Tr}(\sum _k{a}_k{P}_k\sum _{\ell }{b}_{\ell }{P}_{\ell })=\sum _{k,\ell }{a}_k{b}_{\ell }\text{Tr}(P_k{P}_{\ell })$$ וקיבלנו: $$|\sum _{k,\ell }{a}_k{b}_{\ell }\text{Tr}(P_{k}U{P}_{\ell }{V}^{*}))|\le \sum _{k,\ell }{a}_k{b}_{\ell }\text{Tr}(P_k{P}_{\ell })$$ לכן לפי אי-שוויון המשולש מספיק להוכיח כי: $|\text{Tr}(P_{k}U{P}_{\ell }{V}^{*})|\le \text{Tr}(P_k{P}_{\ell })$ לכל $k,l$. נניח בה"כ כי $\ell \le k$ ונבחין כי: $U{P}_{\ell }=[u_1,\dots ,u_{\ell },0,\dots 0]$ וכן $P_{k}U{P}_{\ell }=[P_k{u}_1,\dots P_k{u}_{\ell },\dots ,0]$. נפתח את צד שמאל לפי הגדרת העקבה וכפל מטריצות: $$|\text{Tr}(P_{k}U{P}_{\ell }{V}^{*})|=|\text{Tr}(V^{*}{P}_{k}U{P}_{\ell })|=|\sum _{i=0}^n(V^{*}(P_{k}U{P}_{\ell }){)}_{ii}|=|\sum _{i=0}^{\ell }⟨v_i,P_k{u}_i⟩|$$ מהגדרה נובע כי $P_k{P}_{\ell }=P_{\min \{k,\ell \}}=P_{\ell }$ ולכן צד ימין של האי שוויון בצורה הנוכחית הוא $\text{Tr}(P_k{P}_{\ell })=\ell$. כלומר קיבלנו כי אי שוויון פון נוימן שקול ללהוכיח כי: $$|\sum _{i=1}^{\ell }⟨P_k{u}_i,v_i⟩|\le \ell$$ אך $u_i,v_i$ עמודות של מטריצות אוניטריות ולכן $\Vert u_i\Vert =\Vert v_i\Vert =1$ ו$P_k$ אופרטור אורתוגונלי לכן משמר נורמה. משמע לפי אי שויון קושי-שוורץ ואי שוויון המשולש נקבל: $$|\sum _{i=1}^{\ell }⟨P_k{u}_i,v_i⟩|\le \sum _{i=1}^{\ell }|⟨P_k{u}_i,v_i⟩|{\le }_{C.S}\sum _{i=1}^{\ell }\Vert P_k{u}_i\Vert \Vert v_i\Vert =\ell$$

אי שוויונות עקבה נוספים

אי שוויון קליין

יהי $A,B$ מטריצות הרמטיות ו-$f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה קמורה עם נגזרת $f^{\prime }$ אז:

$\text{Tr}(f(A)-f(B)-(A-B)f^{\prime }(B))\ge 0$

ניסוח נוסף מניח כי $A,B$ הרמטיות חיוביות בהחלט ו-$f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{ℝ}$. בשני הניסוחים אם $f$ קמורה במובן החזק אז שוויון קורה אם ורק אם $A=B$.

הכללות אי-שוויון ינסן

אי-שוויון יינסן לעקבה

יהי $f:I\to \mathbb{ℝ}$ פונקציה רציפה ו- $m,n$ מספרים טבעיים. אם $f$ קמורה אז:

$\text{Tr}\left(f\left(\sum _{k=1}^n{A}_k^{*}{X}_k{A}_k\right)\right)\le \text{Tr}(\sum _{k=1}^n{A}_k^{*}f(X_k)A_k)$

לכל $X_1,\dots ,X_n$ מטריצות הרמטיות מסדר $m\times m$ עם $\text{Spec}(A_k)\subset I$ (כלומר הספקטרום שלהן מוכל ב-$I$) ולכל $A_1,\dots ,A_n$ מטריצות מסדר $m\times m$ שמקיימות $$\sum _{k=1}^n{A}_k^{*}{A}_k=1$$

בכיוון ההפוך, אם האי שוויון מתקייים עבור $n,m$ טבעיים ו $n>1$ אז $f$ קמורה.

אי-שוויון יינסן לאופרטורים

עבור $f:I\to \mathbb{ℝ}$ רציפה התנאים הבאים שקולים:

• f אופרטור קמור
• לכל מספר טבעי $n$ מתקיים האי שוויון:

$$f\left(\sum _{k=1}^n{A}_k^{*}{X}_k{A}_k\right)\le \sum _{k=1}^n{A}_k^{*}f(X_k)A_K$$ לכל $X_1,\dots ,X_n$ אופרטורים חסומים והרמטים המוגדרים על מרחב הילברט ${\mathscr{H}}$ וספקטרום שמוכל ב-$I$ ולכל $A_1,\dots ,A_n$ על ${\mathscr{H}}$ עם $\sum _{k=1}^n{A}_k^{*}{A}_k=1$

• $f(V^{*}XV)\le V^{*}f(X)V$ לכל איזומטריה $V$ המוגדרת על מרחב הילברט ${\mathscr{H}}$ ממימד אינסופי ולכל אופרטור הרמטי $X$ עם ספקטרום ב-$I$.
• $Pf(PXP+\lambda (1-P))P\le Pf(X)P$ לכל הטלה $P$ על מרחב הילברט אין סוף ממדי ${\mathscr{H}}$, לכל אופרטור הרמטי $X$ עם ספקטרום שמוכל ב-$I$ ו$\lambda \in I$.

מקורות

• Vershynin, Roman (2018). High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science. Cambridge University Press. ISBN 978-1108415194.
• R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer (1997)
• Hansen, Frank; Pedersen, Gert K. (2003-06-09). "Jensen's Operator Inequality". Bulletin of the London Mathematical Society. 35 (4): 553–564. arXiv:math/0204049. doi:10.1112/s0024609303002200. ISSN 0024-6093. S2CID 16581168.
• Mirsky, L. (בדצמבר 1975). "A trace inequality of John von Neumann". Monatshefte für Mathematik. 79 (4): 303–306. doi:10.1007/BF01647331. S2CID 122252038. {{cite journal}}: (עזרה)
• Carlsson, Marcus (2021). "von Neumann's trace inequality for Hilbert-Schmidt operators". Expositiones Mathematicae. 39 (1): 149–157. doi:10.1016/j.exmath.2020.05.001.
• Forrester, Peter J.; Thompson, Colin J. (2014). "The Golden-Thompson inequality — historical aspects and random matrix applications". arXiv:1408.2008. doi:10.48550/arXiv.1408.2008. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (עזרה)תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויונות עקבה41720045Q7831162