איבר צמוד (תורת השדות)

במתמטיקה, ובפרט בתורת השדות, איברים צמודים (באנגלית: conjugate elements) או צמודים אלגבריים של איבר אלגברי α, ביחס להרחבת שדות L/K, הם השורשים של הפולינום המינימלי p_K,α(x) של α מעל השדה K. נהוג לכנות איברים אלו פשוט כצמודים, כאשר ההקשר ברור. בדרך כלל α עצמו נכלל בקבוצת הצמודים שלו. ההצמדה היא יחס שקילות.

באופן שקול, הצמודים של α הם התמונות של α תחת אוטומורפיזמים של L המשמרים את איברי K. השקילות של שתי ההגדרות הללו מהווה נקודת מוצא מרכזית בתורת גלואה.

מושג זה מכליל את ההצמדה המרוכבת, שכן הצמודים האלגבריים מעל $\mathbb {R}$ של מספר מרוכב הם המספר עצמו והצמוד המרוכב שלו.

דוגמה

שורשי היחידה מסדר שלישי הם:

${\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{cases}}$

שני השורשים האחרונים הם צמודים בשדה $\mathbb {Q} [{i{\sqrt {3}}}]$ עם הפולינום המינימלי:

$\left(x+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}=x^{2}+x+1.$

תכונות

אם השדה K נמצא בתוך שדה סגור אלגברית C, ניתן לבחור את הצמודים בתוך C. אם לא מצוין שדה כזה, ניתן לבחור את הצמודים בשדה קטן יחסית L. הבחירה הקטנה ביותר האפשרית עבור L היא שדה פיצול של הפולינום p_K,α מעל K, המכיל את α. אם L היא הרחבה נורמלית של K המכילה את α, היא כבר מכילה שדה פיצול כזה בהגדרה.

עבור הרחבה נורמלית L של K, עם חבורת אוטומורפיזמים Aut(L/K) = G המכילה את α, כל איבר מהצורה g(α) עבור g ב-G יהיה צמוד של α, משום שהאוטומורפיזם g מעביר שורשים של הפולינום p לשורשים אחרים של אותו הפולינום. באופן הפוך, כל צמוד β של α הוא מהצורה הזו. במילים אחרות, החבורה G פועלת טרנזיטיבית על הצמודים. הדבר נובע מכך שההרחבה K(α) איזומורפית מעל K ל-K(β) בשל אי-הפריקות של הפולינום המינימלי, וכל איזומורפיזם בין שדות המעביר פולינום אחד לאחר ניתן להרחבה לאיזומורפיזם בין שדות הפיצול של אותם פולינומים.

לסיכום, האיברים הצמודים של α נמצאים בכל הרחבה נורמלית L של K המכילה את K(α), כקבוצה g(α) עבור g ב-Aut(L/K). מספר החזרות של כל איבר ברשימה זו הוא המעלה הספרבילית $[L:K(\alpha )]_{\mbox{sep}}$.

משפט של קרונקר קובע שאם α הוא שלם אלגברי שונה מאפס, ו-α וכל הצמודים שלו בשדה המרוכבים בעלי ערך מוחלט שאינו עולה על 1, אז α הוא שורש יחידה. קיימות גרסאות כמותיות למשפט זה המציגות חסמים מדויקים (בהתאם למעלה של הפולינום) לערך המוחלט הגדול ביותר של צמוד, שממנו נובע שהשלם האלגברי הוא שורש יחידה.

לקריאה נוספת

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.

קישורים חיצוניים

• איבר צמוד, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

איבר צמוד (תורת השדות)40885837Q714220