שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_n]$, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר $U_n$. בפרט, ממד ההרחבה הוא $\varphi (n)$, כאשר $\varphi$ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של ${\zeta }_n$ הוא הפולינום הציקלוטומי ${\mathrm{\Phi }}_n$.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם

$\begin{array}{r}\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_1]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_2]=\mathbb{\mathbb{Q}}\\ \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_3]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_6]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-3}]\\ \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_4]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-1}]\\ \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_5]=\mathbb{\mathbb{Q}}\left[\sqrt{\frac{-5-\sqrt{5}}{2}}\right]\\ \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_8]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-1},\sqrt{2}]\end{array}$

מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם $m,n$ זרים, אז $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_{mn}]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_n,{\zeta }_m]$. למשל $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_{24}]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_3,{\zeta }_8]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-1},\sqrt{2},\sqrt{3}]$.

את המצולע המשוכלל בעל $n$ צלעות אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_n]$ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם $\varphi (n)$ הוא חזקה של שתיים; דבר זה קורה אם ורק אם $n$ הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה,

$\cos \left(\frac{2\pi }{17}\right)=\frac{\frac{\sqrt{17}-1}{2}+\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}+\sqrt{(3+\sqrt{17})(\sqrt{17}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}})}}{8}$

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני $p$, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי $\mathbb{\mathbb{Z}}[{\zeta }_p]$. הדיסקרימיננטה של ההרחבה $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_p]/\mathbb{\mathbb{Q}}$ היא $(-1{)}^{(p-1)/2}{p}^{p-2}$, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של $p^{*}=(-1{)}^{(p-1)/2}p$ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- $\sqrt{5}\in \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_5]$, ובדומה לזה $\sqrt{-7}\in \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_7]$). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית $K$ של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_m]$. הסדר $m$ המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_p]/\mathbb{\mathbb{Q}}$ הוא $p$; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: $⟨p⟩=⟨1-{\zeta }_p{⟩}^{p-1}$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
• שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה ציקלוטומי38026373Q1554628