חוג השלמים של אייזנשטיין

במתמטיקה, חוג השלמים של אייזנשטיין הוא החוג $\ \mathbb {Z} [\omega ]=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb {Z} \}$ כאשר $\ \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{\frac {2i\pi }{3}}$ הוא שורש שלישי פרימיטיבי של היחידה. אברי החוג, הנקראים מספרי אייזנשטיין (ולפעמים מספרי אוילר), מרכיבים סריג משולשי במישור המרוכב, בדומה לשלמים של גאוס, היוצרים סריג ריבועי. השלמים של אייזנשטיין מופיעים בהוכחה של לנדאו למקרה n=3 במשפט האחרון של פרמה, שאותו הוכיחו אוילר ולז'נדר באופן ישיר יותר.

חוג השלמים של אייזנשטיין הוא תחום שלמות אוקלידי, שהוא חוג השלמים של שדה המספרים $\ \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]$ . את פעולת הכפל אפשר לחשב מן הזהות $\ \omega ^{2}+\omega +1=0$ . הנורמה של מספרי אייזנשטיין היא $\ N(a+b\omega )=(a+b\omega )(b+b\omega ^{-1})=a^{2}-ab+b^{2}$ . בחוג הזה יש ששה אברים הפיכים: החזקות של $\ -\omega$ .

הראשוניים של אייזנשטיין

הראשוניים בחוג השלמים של אייזנשטיין שייכים לשלוש קבוצות: (1) ראשוניים טבעיים השקולים ל-2 מודולו 3; (1) המספר $\ 1-\omega$ , שהנורמה שלו היא 3; (3) מספרי אייזנשטיין בעלי נורמה ראשונית השקולה ל-1 מודולו 3 (כגון $3+2\omega$ שהנורמה שלו 7, או $3-2\omega$ שהנורמה שלו 19).

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.