קריטריון קרטן

באלגברה מופשטת, קריטריון קרטן הוא קריטריון להיותה של אלגברת לי פתירה. ממנו נובע תנאי הכרחי ומספיק להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה, בעזרת תבנית קילינג.

ניסוח

תהי $L$ תת-אלגברת לי של אלגברת האנדומורפיזמים $gl(V)$ של מרחב וקטורי $V$ מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. אז $L$ פתירה אם ורק אם $\forall x\in L,y\in [L,L]:\operatorname {Tr} (xy)=0$ .

הוכחה

קודם נניח כי $L$ פתירה. משפט לי קובע כי אם $L\subseteq gl(V)$ פתירה אז ניתן להציג כל איבר בה כמטריצה משולשית עליונה. מסקנה נוספת ממשפט לי קובעת כי אם $L$ פתירה אז $[L,L]$ נילפוטנטית, ומשפט אנגל קובע כי כל איבר של אלגברת לי נילפוטנטית ניתן להציג כמטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). לכן, מכפלה של איבר מ- $[L,L]$ באיבר מ- $L$ ייתן מטריצה משולשית עליונה ממש, והעקבה שלה היא אפס, כדרוש.

כדי להוכיח את הכיוון השני, יש להיעזר בלמה:

למה: יהיו $A\subseteq B\subseteq gl(V)$ , ונביט ב- $M=\{x\in gl(V):[x,B]\subseteq A\}$ . לכל $x\in M$ , אם מתקיים $\forall y\in M,\operatorname {Tr} (xy)=0$ , אז $x$ נילפטונט.

(הוכחה ללמה ראו בקריאה נוספת).

כדי להוכיח את הקריטריון, כלומר כדי להוכיח ש- $L$ פתירה, מספיק להוכיח כי $[L,L]$ נילפטונתית (כי אז היא גם פתירה ואז גם $L$ פתירה). לפי משפט אנגל מספיק להוכיח כי כל איבר ב- $[L,L]$ נילפוטנט. כדי לעשות זאת, נשתמש בלמה עם $A=[L,L]\subseteq B=L$ . כאן $M=\{x\in gl(V):[x,L]\subseteq [L,L]\}$ , ומתקיים $[L,L]\subseteq L\subseteq M$ . כדי להסיק מהלמה שכל איברי $[L,L]$ נילפוטנט, מספיק להוכיח כי $\forall [x,y]\in [L,L],z\in M:\operatorname {Tr} ([x,y]z)=0$ . אכן מתקיים $\operatorname {Tr} ([x,y]z)=\operatorname {Tr} (x[y,z])=0$ - המעבר האחרון נכון כי לפי ההנחה ש-z ב- $M$ ולכן $[y,z]\in [L,L]$ , ולכן אפשר להשתמש בנתון.

מסקנה לכל אלגברת לי

קריטריון קרטן כפי שנוסח לעיל נכון רק לתת אלגברות של אלגברת האנדומורפיזמים (אחרת אין משמעות לעקבה של האיברים). ההכללה הטבעית היא:

מסקנה: תהי $L$ כל אלגברת לי, כך ש- $\forall x\in L,y\in [L,L]:\operatorname {Tr} (ad(x)ad(y))=0$ , כאשר $\operatorname {ad}$ הוא ההצגה הצמודה. אז $L$ פתירה.

הוכחה: נפעיל את קריטריון קרטן עבור $\operatorname {ad} (L)=\{\operatorname {ad} x:x\in L\}$ , ונקבל כי $\operatorname {ad} (L)$ פתירה. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון עבור ההעתקה $\operatorname {ad} :L\rightarrow \operatorname {gl} (V)$ נקבל כי $L/Z(L)\cong ad(L)$ פתירה (כאשר $\operatorname {Z} (L)$ הוא המרכז של $L$ ); אבל $\operatorname {Z} (L)$ אבלית ולכן פתירה, ולכן גם $L$ פתירה כדרוש.