ההצגה הצמודה

באלגברה מופשטת, ההצגה הצמודה (באנגלית: Adjoint Representation) מתייחסת לשני מושגים הקשורים זה לזה: ההצגה הצמודה של חבורת לי וההצגה הצמודה של אלגברת לי.

ההצגה הצמודה של חבורת לי

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

תהי $G$ חבורת לי. כל איבר $A\in G$ משרה אוטומורפיזם פנימי

${\mathrm{Inn}}_A(B)=AB{A}^{-1}$

(זו למעשה הצמדה בתורת החבורות). ההעתקה

$\mathrm{Inn}:G\to \mathrm{Aut}(G),A\mapsto {\mathrm{Inn}}_A$

היא בעצם הומומורפיזם מ-$G$ לחבורת האוטומורפיזמים על $G$.

לפי פונקציית קורי אפשר להסתכל על Inn כהומומורפיזם בשני ארגומנטים

$G\times G\ni (A,B)⟼{\mathrm{Inn}}_A(B)=AB{A}^{-1}$

גזירה של העתקה זו ביחס לארגומנט השני מגדיר העתקה חדשה

$\mathrm{Ad}:G\to \mathrm{Aut}(\mathfrak{𝔤})=\mathbf{𝐆}\mathbf{𝐋}(\mathfrak{𝔤}),A\mapsto {\mathrm{Ad}}_A$

מהחבורה $G$ לחבורת האוטומורפיזמים של $\mathfrak{𝔤}=\mathrm{Lie}G$ (אלגברת לי של $G$) שנתונה על ידי

${\mathrm{Ad}}_A(b)=Ab{A}^{-1}$ לכל $b\in \mathfrak{𝔤}$.

נשים לב שאלגברת לי $\mathfrak{𝔤}=\mathrm{Lie}G$ היא מרחב וקטורי. אזי ההעתקה $\mathrm{Ad}:G\to \mathbf{𝐆}\mathbf{𝐋}(\mathrm{Lie}G)$ היא הצגה ליניארית של $G$ ונקראת ההצגה הצמודה של $G$.

ההצגה צמודה של אלגברת לי

ההצגה הצמודה של אלגברת לי $L$ היא הפונקציה המתאימה לכל איבר $x$ באלגברה את האנדומורפיזם של $L$ המתקבל על ידי כפל משמאל באיבר. זוהי הצגה ליניארית של האלגברה, שיש לה תפקיד מרכזי בתורה של אלגברות לי.

הגדרה

תהי $L$ אלגברת לי. לכל $x\in L$, ההצגה הצמודה של $x$ הוא העתקה ${\mathrm{ad}}_x:L\to L$ המוגדרת על ידי ${\mathrm{ad}}_x(y)=[x,y]$.

העתקת הצמוד היא העתקה $\mathrm{ad}:L\to \mathfrak{𝔤}\mathfrak{𝔩}(L)$ מהאלגברה אל אלגברת האנדומורפיזמים, הנתונה על ידי $\mathrm{ad}(x)={\mathrm{ad}}_x$.

תכונות

• $\mathrm{ad}$ היא העתקה ליניארית.

• הגרעין של העתקת הצמוד הוא המרכז של האלגברה.

• התמונה של העתקת הצמוד נמצאת בתוך מרחב הנגזרות (כלומר, כל ייצוג מצמיד הוא נגזרת, ובפרט מקיים את כלל לייבניץ).

• כאשר האלגברה פשוטה למחצה, ההעתקה היא חד חד ערכית ולכן מהווה שיכון לתוך $\mathfrak{𝔤}\mathfrak{𝔩}(L)$.

• העתקת הצמוד היא הומומורפיזם של אלגברות לי, כלומר מתקיים $[{\mathrm{ad}}_x,{\mathrm{ad}}_y]={\mathrm{ad}}_{[x,y]}$.

• משפט אנגל מקשר בין הנילפוטנטיות של איברי $L$ לאיברי $\mathrm{ad}(L)$, וקובע כי אלגברת לי היא נילפוטנטית אם ורק אם כל איברי $\mathrm{ad}(L)$ נילפוטנטים.

הקשר בין שתי ההצגות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory,James Humphreys, p.8

קישורים חיצוניים

• ההצגה הצמודה, באתר MathWorld (באנגלית)

• ד"ר צחי אבנור, סיכום מקוצר של ההצגה הצמודה דרך ארכיון האינטרנט

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

ההצגה הצמודה35047065Q4379157