קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן G ,שנקרא על שם אז'ן שרל קטלן, הוא מספר שמוגדר על ידי

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$

כאשר β היא פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע אם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי.

ערכו בקירוב של קבוע קטלן הוא: $G=0.915965594177219015054603514932384110774...$

הגדרות נוספות

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy$

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{t}{\sin t\cos t}dt$

$G=\frac{1}{4}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\ln (\cot (t))dt$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan (e^{-t})dt$

$G=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$

$G=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{K}(t)dt$

• כאשר K(t) מוגדר להיות האינטגרל האליפטי.

$G=\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{x}{2})\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})dx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+y)\mathrm{\Gamma }(1-y)dy$

$\begin{array}{rl}G& =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2(8n+1{)}^2})\\ & -2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2})\end{array}$

$G=\frac{1}{8}\pi \log (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}.$

שימושים

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8G$

${\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)={\pi }^2-8G.$

קישורים חיצוניים

• קבוע קטלן, באתר MathWorld (באנגלית)
• סדרת הספרות העשרוניות של קבוע קטלן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קבוע קטלן29820982Q855282