אינטגרל אליפטי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אינטגרל אליפטי הוא פונקציה מהצורה:

f(x)=cxR(t,P(t))dt

כאשר c מספר קבוע, R היא פונקציה רציונלית של שני משתנים ו-P היא פולינום ממעלה 3 או 4.

אינטגרל אליפטי אינו פונקציה אלמנטרית. פונקציות מסוג זה נקראות אינטגרל אליפטי כי הן הופיעו לראשונה בניסיונות לחשב היקף של אליפסה.

אינטגרלים אליפטיים נחקרו לראשונה על ידי ג'וליו פניאנו (Giulio Fagnano) ולאונרד אוילר בסביבות 1750.

באופן כללי, אינטגרלים בעלי הצורה הזאת אינם ניתנים לביטוי כצירופים של פונקציות אלמנטריות, אך חריגות מן הכלל הזה קורות כאשר ל-P שורשים מרובים, או כאשר R(x,y) אינה מכילה חזקות אי-זוגיות של y. אחד המשפטים החשובים בנוגע לחישוב אינטגרלים אליפטיים קובע שכל אינטגרל אליפטי ניתן להביא לצורה שמערבת אינטגרלים של פונקציות רציונליות עם אינטגרלים של אחת משלוש הצורות הקנוניות של לז'נדר (אינטגרלים אליפטיים מהסוג הראשון, השני והשלישי).

מינוח

אינטגרלים אליפטיים לא שלמים הם פונקציות של שני משתנים; לעומת זאת, אינטגרלים אליפטיים שלמים הם פונקציות של משתנה יחיד. המשתנים הללו ניתנים לביטוי במגוון של דרכים שונות אך שקולות (הן מתארות את אותו האינטגרל). רוב הטקסטים נצמדים למינוח הבא:

  • α היא הזווית המודולרית.
  • k=sinα הוא המודולוס האליפטי או האקסצנטריות.
  • m=k2=sin2α נקרא הפרמטר.

כל אחד משלושת הגדלים שהוזכרו לעיל נקבע בהינתן כל אחד מהשניים האחרים.

את המשתנה השני מסמנים לעיתים קרובות באות φ, והוא מכונה האמפליטודה של האינטגרל האליפטי.

מיון אינטגרלים אליפטיים

האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג הראשון F מוגדר כ:

F(φ,k)=F(φ|k2)=F(sinφ;k)=0φdθ1k2sin2θ.

זוהי הצורה הטריגונומטרית של האינטגרל; אם מציבים t=sinθ ו-x=sinφ אז מקבלים את צורת יעקובי של האינטגרל:

F(x;k)=0xdt(1t2)(1k2t2).

האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השני E בצורתו הטריגונומטרית הוא:

E(φ,k)=E(φ|k2)=E(sinφ;k)=0φ1k2sin2θdθ.

כשמציבים t=sinθ ו-x=sinφ מקבלים את צורת יעקובי:

E(x;k)=0x1k2t21t2dt.

האינטגרל האליפטי הבלתי שלם מהסוג השלישי Π הוא:

Π(n;φα)=0φ11nsin2θdθ1(sinθsinα)2

או:

Π(n;φ|m)=0sinφ11nt2dt(1mt2)(1t2).

כאשר המספר n נקרא המאפיין ויכול לקבל כל ערך, ללא תלות במשתנים האחרים.

אינטגרלים אליפטיים שלמים

גרף של ערך האינטגרל האליפטי השלם K(k) כפונקציה של k.

כל אחד מהאינטגרלים האליפטיים שהוזכרו מקודם נקראים שלמים כאשר האמפליטודה מקיימת φ=π2 או x=1. למשל, האינטגרל האליפטי השלם מהסוג הראשון K הוא:

K(k)=0π2dθ1k2sin2θ=01dt(1t2)(1k2t2).

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא אינטגרל אליפטי בוויקישיתוף


ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אינטגרל אליפטי34005496Q1126603