פונקציית פוליגמא

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
גרף של פונקציית גמא מסדר 0, 1, 2 ו-3
גרף של פונקציית גמא מסדר 0, 1, 2 ו-3

במתמטיקה, פונקציית הפוליגמא מסדר m היא פונקציה מרומורפית אשר מוגדרת על ידי הנגזרת של הלוגריתם של פונקציית גמא:

ψ(m)(z):=dmdzmψ(z)=dm+1dzm+1lnΓ(z).

אז

ψ(0)(z)=ψ(z)=Γ(z)Γ(z)

כאשר Γ(z) היא פונקציית גמא. פונקציית הפוליגמא היא פונקציה הולומורפית בתחום 0.




גרף במישור המרוכב של פונקציית הפוליגמא
lnΓ(z) ψ(0)(z) ψ(1)(z)
ψ(2)(z) ψ(3)(z) ψ(4)(z)


נוסחה על ידי אינטגרל

אפשר להגדיר את פונקציית פוליגמא על ידי אינטגרל:

ψ(m)(z)=(1)m+10tmezt1et dt=01tz11tlnmt dt

נוסחת נסיגה

וגם על ידי נוסחת נסיגה

ψ(m)(z+1)=ψ(m)(z)+(1)mm!zm+1

או על ידי

ψ(m)(n)(1)m+1m!=ζ(1+m)k=1n11km+1=k=n1km+1m1

כאשר

ψ(0)(n)=γ +k=1n11k

לכול n טבעי.

טור טיילור

טור טיילור של פונקציית הפוליגמא היא:

ψ(m)(z+1)=k=0(1)m+k+1(m+k)!k!ζ(m+k+1)zkm1

כאשר

ψ(0)(z+1)=γ+k=1(1)k+1ζ(k+1)zk

אשר מתכנס כאשר לכל z בעל ערך מוחלט של 1. במקרה זה זטא מוגדרת להיות פונקציית זטא של רימן.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית פוליגמא בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית פוליגמא28523232Q857956