פורטל:מתמטיקה/משפטים והשערות/11

אי-שוויון הממוצעים הוא אי-שוויון מפורסם הקושר בין הממוצע החשבוני והממוצע גאומטרי של סדרה סופית של מספרים. זהו אי-שוויון בסיסי באנליזה מתמטית, ויש לו שימושים חשובים והכללות רבות. את אי-השוויון גילה והוכיח אוגוסטן לואי קושי, וברבות השנים התגלו עשרות הוכחות אחרות.

באותו שם נקרא גם אי שוויון בין הממוצע ההנדסי לממוצע ההרמוני; יחדיו, טוענים שני אי-השוויונות שלכל קבוצה $a_{1}, \dots, a_{n}$ של מספרים ממשיים חיוביים, מתקיים

\frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}} \leq \sqrt[n]{a_{1} \dots a_{n}} \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}

כלומר הממוצע ההרמוני קטן או שווה לממוצע ההנדסי, והממוצע ההנדסי קטן או שווה לממוצע החשבוני. בשני המקרים לא מתקיים שוויון, אלא אם כל המספרים $a_{1}, \dots, a_{n}$ שווים זה לזה.

לערך המלא