פונקציית צפיפות

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות (Probability density function, בראשי תיבות PDF) של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את צפיפות המשתנה בכל נקודה במרחב המדגם. ההסתברות שמשתנה מקרי יימצא בקטע מסוים היא האינטגרל של הצפיפות בקטע ולכן המשתנה נוטה יותר לקבל ערכים שבהם הצפיפות גבוהה.

פונקציית צפיפות

משתנה מקרי (אקראי) רציף

פונקציה אינטגרבילית ממשית f נקראת פונקציית צפיפות אם היא אי־שלילית, כלומר גדולה מאפס או שווה לו בכל נקודה, והאינטגרל $\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$ שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של משתנה מקרי, על ידי הנוסחה $\ P(a<X<b)=P(a\leq X\leq b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$. ניסוח מילולי: "הסיכוי (Probability, הסתברות) של המשתנה המקרי X לקבל ערך גדול מ-a וקטן מ-b שווה לשטח שתחת פונקציית הצפיפות בין a ל-b". מן ההגדרה נובע כי הסיכוי לכך שמשתנה מקרי יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס $\ P(X=a)=P(a\leq X\leq a)=\int \limits _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0$.

מאידך, משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X} שפונקציית ההצטברות שלו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F_X(x) = P(X<x) = P(X\le x)} גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)\mathrm dx} בתור ההסתברות לכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X} ייפול בקטע אינפיניטסימלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [x,x+\mathrm dx]} .

משתנה מקרי (אקראי) בדיד

ניתן לייצג את פונקציית הצפיפות של משתנה מקרי המקבל אוסף סופי של ערכים בדידים t₁, …, t_n, על ידי סכום של דלתאות דיראק. במקרה הכללי, תציין כל דלתא ערך בדיד שהמשתנה עשוי לקבל, ותוכפל בהסתברות p₁, …, p_n לקבל ערך זה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,f(x) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(x-t_i)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .\sum_{i=1}^np_i=1}

לדוגמה, משתנה מקרי בדיד ובינארי, המקבל ערכים $\pm 1$ בהסתברות שווה של ½, יתואר על ידי פונקציית הצפיפות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .f(x) = \frac{1}{2}\delta(x+1)+\frac{1}{2}\delta(x-1)}

פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום

להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם פונקציית ההצטברות שלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(x)} פונקציה רציפה בהחלט. במקרה זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F(x)} גזירה כמעט בכל מקום, והנגזרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(x) = f(x)} יכולה לשמש כפונקציית צפיפות.

שתי פונקציות צפיפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x)} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g(x)} מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת לבג ממידה אפס.

שימושים בפונקציית הצפיפות

אם נתון משתנה מקרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X} בעל פונקציית צפיפות $\ f(x)$, אז ניתן לחשב את התוחלת שלו (אם קיימת) כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{E}(X)=\int\limits_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,\mathrm dx} . ניתן להכליל משפט זה: המומנט ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{E}(X^i)=\int\limits_{-\infty}^\infty x^i\,f(x)\,\mathrm dx}

דוגמאות

• פונקציית הצפיפות של ההתפלגות האחידה בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ [0,2]} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(x) = \frac{1}{2}} בקטע, ואפס מחוץ לקטע.

• פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית תקנית (Normal Standard Distribution, כאשר התוחלת 0=μ, וסטיית התקן 1=σ) היא $f(x)={e^{-{x^{2}/2}} \over {\sqrt {2\pi }}}$.

ראו גם

• הסתברות
• משתנה מקרי
• התפלגות
• פונקציית ההסתברות המצטברת

קישורים חיצוניים

• פונקציית צפיפות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית צפיפות26649481