פונקציית טריגמא

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
ייצוג צבע של פונקציית טריגמא, ψ1(z) במישור המרוכב. האיור נוצר בשיטת צביעת התחום .

במתמטיקה, פונקציית הטריגמא, המסומנת ψ1(z) או ψ(1)(z), היא השנייה מבין פונקציות הפוליגמא, והיא מוגדרת על ידי[1][2]

ψ1(z)=d2dz2lnΓ(z) .

מהגדרה זו עולה כי

ψ1(z)=ddzψ(z)

כאשר ψ(z) היא פונקציית הדיגמא. ניתן להגדיר את פונקציית הטריגמא גם כסכום הטור

ψ1(z)=n=01(z+n)2,

מה שהופך את פונקציית הטריגמא למקרה מיוחד של פונקציית הזטה של הורביץ(אנ')

ψ1(z)=ζ(2,z)

שתי הנוסחאות האחרונות תקפות רק כאשר 1 − z אינו מספר טבעי.

חישוב

כחלופה לייצוג לעיל, ניתן לייצג את פונקציית טריגמא בעזרת אינטגרל כפול

ψ1(z)=010xxz1y(1x)dydx

האינטגרציה על y נותנת

ψ1(z)=01xz1lnx1xdx

על ידי גזירת הפיתוח האסימפטוטי של פונקציית דיגמה ניתן לקבל את טור לורן הבא:

ψ1(z)ddz(lnzn=1Bnnzn)=1z+n=1Bnzn+1=n=0Bnzn+1=1z+12z2+16z3130z5+142z7130z9+566z116912730z13+76z15

כאשר Bn הוא מספר ברנולי ה- n, ובוחרים B1=1/2.

נוסחאות נסיגה והשתקפות

פונקציית טריגמא מקיימת את נוסחת הנסיגה

ψ1(z+1)=ψ1(z)1z2

ונוסחת ההשתקפות

ψ1(1z)+ψ1(z)=π2sin2πz

מביטוי זה קל לראות בהצבת z=1/2 כי ψ1(12)=π22 .

ערכים מיוחדים

בערכים חיוביים חצי שלמים מתקבל

ψ1(n+12)=π224k=1n1(2k1)2.

לפונקציית טריגמא הערכים המיוחדים הבאים:

ψ1(14)=π2+8Gψ1(12)=π22ψ1(1)=π26[6px]ψ1(32)=π224ψ1(2)=π261ψ1(n)=π26k=1n11k2

כאשר G מייצג קבוע קטלן ו- n הוא מספר שלם חיובי. אך יש אינסוף זוגות שורשים zn,zn עם חלק ממשי שלילי (Rez<0). כל זוג שורשים כזה מתקרב במהירות ל Rezn=n+1/2, והחלק הדמיוני שלהם גדל לוגריתמית כפונקציה של n.

הופעה

פונקציית טריגמא מופיעה בנוסחת הסכום:

n=1n212(n2+12)2(ψ1(ni2)+ψ1(n+i2))=1+24πcothπ23π24sinh2π2+π412sinh4π2(5+coshπ2).

ראו גם

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית טריגמא בוויקישיתוף

הערות שוליים

  1. Eric W. Weisstein, Trigamma Function, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
  2. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Courier Corporation, 1965-01-01, מסת"ב 978-0-486-61272-0. (באנגלית)
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית טריגמא39736130Q1244426