נוסחת ההיפוך של מביוס

בקומבינטוריקה, נוסחת ההיפוך של מביוס משמשת, בהינתן פונקציה $F$ שניתנת לתיאור בתור סכום מסוים על ערכי פונקציה אחרת $f$, לתאר בצורה ישירה את הפונקציה $f$ באמצעות סכום של $F$.

הגרסה הקלאסית

הגרסה ה"קלאסית" של הנוסחה היא כדלהלן: בהינתן שתי פונקציות אריתמטיות $f,F$, אם מתקיים $F(n)=\sum _{d\mid n}f(d)$ לכל $n\ge 1$, אז ניתן להפוך את הנוסחה ולקבל $f(n)=\sum _{d\mid n}F(n/d)\mu (d)$, כאשר $\mu$ היא פונקציית מביוס.

אם מסמנים ב-$\mathbf{𝟏}$ את הפונקציה הקבועה שמקיימת $\mathbf{𝟏}(n)=1$ לכל $n$, ומשתמשים בסימון של קונבולוציית דיריכלה, נוסחת מביוס אומרת שבהינתן $F=f*\mathbf{𝟏}$, אז $f=F*\mu$. כלומר $\mathbf{𝟏}$ ו-$\mu$ הם איברים הופכיים ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר "לא מדויק", 7 בינואר 2012
• נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר MathWorld (באנגלית)

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחת ההיפוך של מביוס30143159Q1072771