פונקציית מביוס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית מביוס, המסומנת μ(n) היא פונקציה אריתמטית שהוצגה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס. הפונקציה מוגדרת על המספרים הטבעיים והיא תלויה רק בפירוק לגורמים של המספר שעליו היא פועלת. לפונקציה שימושים בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, ויש לה גרסאות מוכללות (המוגדרות על קבוצה סדורה).

הגדרה פורמלית

אם יש ל-n גורם ריבועי אז μ(n)=0. אחרת n הוא מכפלה של (נאמר) r גורמים ראשוניים שונים, ואז μ(n)=(1)r. בפרט μ(1)=1.

כלומר, הפונקציה מחזירה 1 עבור מכפלה של מספר זוגי של ראשוניים, ו-1- עבור מכפלה של מספר אי-זוגי של ראשוניים, לרבות עבור הראשוניים עצמם.

תכונות

דוגמה לשימוש

נסמן f(m,n)=|{k:1km,gcd{k,n}=1}|, פונקציית מספר המספרים בין 1 ל-m שזרים ל-n. נרצה למצוא נוסחה לחישוב f.

נסמן ב-p1,p2,,pr את הראשוניים השונים שמחלקים את n (ייתכן יותר מפעם אחת). נחשב את f לפי עקרון ההכלה וההפרדה: ראשית נוסיף את כל המספרים בין 1 ל-m, יש m כאלה. אחר כך לכל pi נוריד את כל המספרים שמתחלקים בו, יש mpi כאלה (לפירוש הסימון ראו פונקציית רצפה) אחר כך נוסיף לכל pi,pj את כל המספרים שמתחלקים בשניהם, יש mpipj כאלה, וכן הלאה. בסך הכל נקבל את הנוסחה:

f(m,n)=S{1,,r}(1)|S|msSps

שבעזרת פונקציית מביוס אפשר להציגה בדרך פשוטה יותר:

f(m,n)=d|nμ(d)md

אם לוקחים m=n הביטוי בתוך הערך השלם נהיה שלם; במקרה זה אפשר לפשט את הביטוי ל-n(11p1)(11pr), שהיא הנוסחה הידועה לחישוב פונקציית אוילר.

הכללה

אם X היא קבוצה עם יחס סדר חלש, פונקציית מביוס של הקבוצה מוגדרת לפי השוויון μ(x,y)=[X]a,b1, כאשר המטריצה [X] מתארת את היחס

[X]a,b={1:ab0:a>b

עבור המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, מתקבלת פונקציית מביוס הרגילה.

קישורים חיצוניים

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא פונקציית מביוס בוויקישיתוף
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פונקציית מביוס39164087Q205243