פונקציית ליוביל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, המוגדרת לכל n טבעי על ידי:

λ(n)=(1)Ω(n)

כאשר Ω(n) מספר המספרים הראשוניים המחלקים את n .

ניתן לראות כי Ω(ab)=Ω(a)+Ω(b) , אז λ(ab)=λ(a)λ(b) . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז Ω(1)=0 ומכאן λ(1)=1 . ניתן לראות כי:

d|nλ(d)={1:n=k2,k0:nk2

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

  • ζ(2s)ζ(s)=n=1λ(n)ns
  • n=1λ(n)qn1qn=n=1qn2=ϑ3(q)12

כאשר ϑ3(q) פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השנים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות.

הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה L(n)=k=1nλ(k) , אז L(n)0 לכל n>1 . השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור n=906150257 .

הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה T(n)=k=1nλ(k)k אז T(n)0 . אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז הדבר היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן. פונקציית_ליוביל20504181Q385019