פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, המוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי:

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$

כאשר $\mathrm{\Omega }(n)$ מספר המספרים הראשוניים המחלקים את $n$ .

ניתן לראות כי $\mathrm{\Omega }(ab)=\mathrm{\Omega }(a)+\mathrm{\Omega }(b)$ , אז $\lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)$ . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז $\mathrm{\Omega }(1)=0$ ומכאן $\lambda (1)=1$ . ניתן לראות כי:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{ll}1& :n=k^2,k\in \mathbb{\mathbb{N}}\\ 0& :n\ne k^2\end{array}$

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

• $\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)q^n}{1-q^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{n^2}=\frac{{\vartheta }_3(q)-1}{2}$

כאשר ${\vartheta }_3(q)$ פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השנים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות.

הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה $L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k)$ , אז $L(n)\le 0$ לכל $n>1$ . השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור $n=906150257$ .

הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה $T(n)=\sum _{k=1}^n\frac{\lambda (k)}{k}$ אז $T(n)\ge 0$ . אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז הדבר היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן. פונקציית_ליוביל20504181Q385019