משתמש:גיאומטריה/טיוטה

אחת הזהויות הבסיסיות בטריגונומטריה היא הזהות $\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$. זהות זו משמשת כיסוד בהוכחת זהויות רבות אחרות. אמנם בניגוד לזהויות הפיתגוריות שאותן קל להוכיח על סמך משפט פיתגורס, זהות זו מצריכה בניית עזר.

הוכחת הזהות

בניית העזר להוכחה

תחילה נניח שמשולש ABC ו-ACD הם ישרי זווית ומתקיים $\cos (a)=\frac{AB}{AC}$ ו-$\cos (b)=\frac{AC}{AD}$ לכן $\cos a\cdot \cos b=\frac{AB}{AD}$

בנוסף מתקיים מהמשולש AED $\cos (a+b)=\frac{AE}{AD}$.

כעת נציב ישר FC המקביל ל-EB ושווה לו. נראה שהזווית FCA שווה לזווית a כמו כן זווית CDF שווה לזווית a כי היא משלימה את זווית FCD לזווית ישרה.

כעת $\sin b=\frac{CD}{DA}$ ו$\sin a=\frac{FC}{CD}$ לכן $\sin a\cdot \sin b=\frac{FC}{AD}=\frac{EB}{AD}$

מכאן ש $\cos (a+b)=\frac{AE}{AD}=\frac{AB-EB}{AD}=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$.

זהויות טריגונומטריות נוספות

הזהות $\sin (a+b)=\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b$ נובעת מזהות זו על ידי זהות ההזזה $\sin a=\cos (\frac{\pi }{2}-a)$ כאשר נציב בנוסחה $\sin (a+b)=\cos (\frac{\pi }{2}-(a+b))$ נוכל לחשב כמו $\cos ((\frac{\pi }{2}-a)-b))$ וכשנציב $-b$ במקום $b$ נקבל את הפתרון לפי הזהות הקודמת, אלא שיש להפוך את $\cos (\frac{\pi }{2}-a)$ ל-$\sin a$

זהות זווית כפולה נובעת מזהות זו על ידי הצבת a במקום b, וזהות חצי זווית על ידי הצבה של חצי זווית בזהות זווית כפולה והעברת אגפים.

שיטה לא גיאומטרית להוכחה

על פי נוסחת אוילר, $e^{\theta i}=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$ ולכן ניתן להגדיר את הסינוס כחלק המדומה של $e^{\theta i}$ ואת הקוסינוס כחלק הממשי. מאחר שבפונקציית האקספוננט מתקיים $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$ ממילא כאשר a ו-b הם מספרים מדומים מתקיים $\sin (a+b)i+\cos (a+b)=(\sin (a)i+\cos (a))(\sin (b)i+\cos (b))$ כאשר פותחים את הסוגריים מתקבל $\sin (a)i\sin (b)i+\sin (a)i\cos (b)+\cos (a)\sin (b)i+\cos (a)cos(b)=[\cos (a)\cos (b)-\sin (a)\sin (b)]+[\cos (a)\sin (b)+\sin (a)\cos (b)]i$ כעת החלק הממשי הוא הזהות לקוסינוס והחלק המדומה הוא הזהות לסינוס.

ראו גם

• זהויות טריגונומטריות

קישורים חיצוניים

• ההוכחה באתר "דע מדע"