משפט ניבן

במתמטיקה, ובפרט בטריגונומטריה, משפט ניבן הוא משפט העוסק ברציונליות של ערכי פונקציית הסינוס והקוסינוס.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האמריקאי-קנדי איבן ניבן אשר פרסם הוכחה שלו בשנת 1956.

ניתן להשתמש במשפט ניבן כדי להוכיח גרסאות דומות לפונקציות הסקאנס, הקוסקאנס, הטנגנס והקוטנגנס.

סימונים ומוסכמות

נסמן ב-$\mathbb{\mathbb{N}}$,‏ $\mathbb{\mathbb{Z}}$,‏ $\mathbb{\mathbb{Q}}$ ו-$\mathbb{ℝ}$ את קבוצת המספרים הטבעיים, השלמים, הרציונליים והממשיים בהתאמה.

בערך זה ערכן של פונקציות טריגונומטריות מחושב ברדיאנים.

מבוא ומוטיבציה

בהינתן מספר רציונלי $r\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ ניתן להוכיח כי $\cos (r\pi )$ הוא בהכרח מספר אלגברי. הוכחה זו מתבססת על כך שקיימים זוג מספרים טבעיים $p,q\in \mathbb{\mathbb{N}}$ כך ש-$p=rq$ ולכן $\cos (r\pi )$ הוא שורש של הפולינום $T_{2q}(x)-1$ כאשר $T_{2q}(x)$ הוא פולינום צ'בישב מהסוג הראשון מדרגה $2q$.

ידוע כי לא כל מספר אלגברי הוא בהכרח מספר רציונלי. על כן, נשאלת השאלה: באילו מקרים מתקיים שגם $r\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ וגם $\cos (r\pi )\in \mathbb{\mathbb{Q}}$?

משפט ניבן מוכיח שבכל תחום נתון, כמו למשל התחום $0\le r\le 1$, מספר ערכי $r$ שמקיימים תנאי זה הוא סופי וידוע.

נוסח המשפט

גרסה לפונקציית הסינוס

תהי זווית $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ כך ש-$\frac{\theta }{\pi }$ הוא רציונלי וגם $\sin \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =0$ ו-$\sin \theta =0$
2. $\theta =\frac{\pi }{6}$ ו-$\sin \theta =\frac{1}{2}$
3. $\theta =\frac{\pi }{2}$ ו-$\sin \theta =1$

גרסה לפונקציית הקוסינוס

תהי זווית $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ כך ש-$\frac{\theta }{\pi }$ הוא רציונלי וגם $\cos \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =0$ ו-$\cos \theta =1$
2. $\theta =\frac{\pi }{3}$ ו-$\cos \theta =\frac{1}{2}$
3. $\theta =\frac{\pi }{2}$ ו-$\cos \theta =0$

הוכחה

מכיוון ומתקיימת הזהות הטריגונומטרית $\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$, שתי הגרסאות של המשפט שקולות זו לזו.

לכן, די להוכיח את הגרסה לפונקציית הקוסינוס כדי להוכיח את המשפט כולו.

מגדירים סדרת פולינומים במקדמים שלמים ${\{F_n(x)\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ אשר מוגדרת רקורסיבית באופן הבא:

• $F_0(x):=2$
• $F_1(x):=x$
• $F_{k+1}(x):=x{F}_k(x)-F_{k-1}(x)$ לכל $k\in \mathbb{\mathbb{N}}$.

ניתן להוכיח כי לפולינומים אלו התכונות הבאות:

1. לכל $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ הפולינום $F_n(x)$ הוא מדרגה $n$.
2. לכל $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, הפולינום $F_n(x)$ הוא פולינום מתוקן (כלומר, האיבר המוביל של הפולינום הוא $1$).
3. לכל $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ ולכל $\theta \in \mathbb{ℝ}$ מתקיימת הזהות $F_n(2\cos \theta )=2\cos (n\theta )$.

הפולינומים $F_n(x)$ מהווים גרסה מתוקנת של פולינומי צ'בישב.

כעת, מניחים כי $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ היא זווית העומדת בתנאי המשפט. לכן קיימים $p,q\in \mathbb{\mathbb{N}}$ זרים זה לזה כך ש-$\theta =\frac{p}{q}\pi$.

מסמנים $c:=2\cos \theta$. לפי ההנחות על $\theta$, $c$ הוא מספר רציונלי אי-שלילי (זאת מכיוון שהפונקציה $\cos \theta$ מקבלת ערכים אי-שליליים בלבד בתחום $[0,\frac{\pi }{2}]$).

מכאן מתקיים כי:

$F_{2q}(c)=F_{2q}(2\cos \theta )=2\cos (2q\theta )=2\cos (2q\cdot \frac{p}{q}\pi )=2\cos \left(2p\pi \right)=2$

מגדירים פולינום חדש $G(x):=F_{2q}(x)-2$ ומקבלים ש-$c$ הוא שורש רציונלי שלו. $G(x)$ הוא פולינום מתוקן במקדמים שלמים, לכן לפי משפט השורש הרציונלי, כל שורש רציונלי שלו חייב להיות שלם, כלומר $c\in \mathbb{\mathbb{Z}}$. מצד שני, $0\le c=2\cos \theta \le 2$. לכן, הערכים היחידים ש-$c$ יכול לקבל הם $0$,‏ $1$ ו-$2$ ובהתאמה $\cos \theta$ יכול לקבל אך ורק את הערכים $0$, ‏$\frac{1}{2}$ ו-$1$. הפונקציה $\cos \theta$ מונוטונית יורדת ממש בתחום $[0,\frac{\pi }{2}]$, לכן הערכים המתאימים היחידים ש-$\theta$ יכול לקבל לכל $\cos \theta$ כנ"ל הם $\frac{\pi }{2}$,‏ $\frac{\pi }{3}$ ו-$0$ בהתאמה.

מ.ש.ל.

הכללות ומסקנות

הכללה לזווית כללית

משפט ניבן עוסק בזוויות בתחום $[0,\frac{\pi }{2}]$. עם זאת, ניתן להשתמש בזהויות הטריגונומטריות $\sin (\theta +\frac{\pi }{2})=\cos \theta$ ו-$\cos (\theta +\frac{\pi }{2})=-\sin \theta$ כדי להכליל את המשפט לזווית $\theta$ כללית. משמעות הדבר היא שהערכים הרציונליים היחידים ש-$\cos \theta$ ו-$\sin \theta$ יכולים לקבל כך שגם $\frac{\theta }{\pi }$ תהיה גם רציונלית הם $0$,‏ $\pm \frac{1}{2}$ ו-$\pm 1$.

גרסה לפונקציית הטנגנס

תהי זווית $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ כך ש-$\frac{\theta }{\pi }$ הוא רציונלי וגם $\tan \theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =0$ ו-$\tan \theta =0$
2. $\theta =\frac{\pi }{4}$ ו-$\tan \theta =1$

הוכחה

תהי $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ זווית העומדת בתנאי המשפט. מסמנים $q:=\tan \theta$. באמצעות זהויות טריגונומטריות ניתן להוכיח כי:

$\cos (2\theta )=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1-q^2}{1+q^2}$

לכן, מאחר ש-$q$ רציונלי בהכרח גם $\cos (2\theta )$ רציונלי. כלומר, הזווית $2\theta$ עומדת בתנאים של משפט ניבן לפונקציית הקוסינוס בתחום $[0,\pi ]$. לכן הערכים היחידים ש-$2\theta$ יכול לקבל הם מהקבוצה $\{0,\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2},\frac{2\pi }{3},\pi \}$. משמע הערכים היחידים ש-$\theta$ יכול לקבל הם מהקבוצה $\{0,\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\}$.

על ידי בחינה של כל אחד מהערכים הללו ניתן להוכיח שהערכים היחידים שעבורם $\tan \theta$ הוא אכן רציונלי הם $\theta =0$ ו-$\theta =\frac{\pi }{4}$.

מ.ש.ל.

גרסה לפונקציית הקוטנגנס

תהי זווית $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$ כך ש-$\frac{\theta }{\pi }$ הוא רציונלי וגם $\mathrm{cotan}\theta$ רציונלי. אזי מתקיים בהכרח אחד התנאים הבאים:

1. $\theta =\frac{\pi }{4}$ ו-$\mathrm{cotan}\theta =1$
2. $\theta =\frac{\pi }{2}$ ו-$\mathrm{cotan}\theta =0$

הוכחה

ההוכחה לגרסה זו זהה להוכחה לגרסת הטנגנס, אך עושה שימוש בזהות הטריגונומטרית:

$\cos (2\theta )=\frac{{\mathrm{cotan}}^2\theta -1}{{\mathrm{cotan}}^2\theta +1}$

ראו גם

• שדה המספרים הניתנים לבנייה

קישורים חיצוניים

• משפט ניבן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט ניבן41777950Q4116459