משפט השורש הרציונלי

במתמטיקה, ובפרט באלגברה, משפט השורש הרציונלי הוא משפט המאפשר לסווג שורשים רציונליים של פולינומים במקדמים שלמים.

באמצעות משפט זה ניתן למצוא את השורשים הרציונליים על-ידי בחינה של מספר סופי של ערכים, מה שמאפשר חיפוש מהיר של כל השורשים הרציונליים האפשריים של הפולינום.

משפט השורש הרציונלי הוא מקרה פרטי של הלמה של גאוס.

סימונים

בערך זה נסמן ב-$\mathbb{\mathbb{N}}$,‏ $\mathbb{\mathbb{Z}}$ ו-$\mathbb{\mathbb{Q}}$ את קבוצות המספרים הטבעיים, השלמים והרציונליים בהתאמה.

כמו כן, נסמן ב-$\mathbb{\mathbb{Z}}[x]$ את חוג הפולינומים במקדמים שלמים עם משתנה אחד $x$.

לבסוף, נסמן ב-$a|b$ את היחס מחלק את ($a$ מחלק את $b$).

ניסוח המשפט

יהי פולינום $P(x)\in \mathbb{\mathbb{Z}}[x]$ מדרגה $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ כאשר $a_0\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ הוא המקדם החופשי של $P(x)$ ו-$0\ne a_n\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ הוא המקדם המוביל של $P(x)$.

כמו כן, יהי $p,q\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ זוג מספרים זרים כאשר $x_0:=\frac{p}{q}$ הוא שורש של $P(x)$. אזי:

1. $p|a_0$
2. $q|a_n$

הוכחה

נסמן:

$P(x):=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

מאחר ש-$x_0$ הוא שורש של $P(x)$, מתקבל כי:

$P(x_0)=P\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\dots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0$

מכפילים את שני הצדדים של המשוואה האחרונה ב-$q^n$ ומתקבל:

$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\dots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0(*)$

מעבירים את הביטוי $a_0{q}^n$ לאגף הימני ומוציאים מכנה משותף $p$ מהאגף השמאלי, בכך מתקבל:

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}{p}^{n-2}q+\dots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n$

מאחר ששני אגפי המשוואה הם מספרים שלמים, ו-$p$ מחלק את האגף השמאלי, $p$ בהכרח מחלק גם את האגף הימני, כלומר $p|a_0{q}^n$. עם זאת, $p$ ו-$q$ זרים זה לזה, לכן בהכרח $p|a_0$.

באופן זהה, חוזרים למשוואה $(*)$, מעבירים את הביטוי $a_n{p}^n$ לאגף הימני ומוציאים מכנה משותף $q$ מהאגף השמאלי. בכך מתקבל:

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+\dots +a_{1}p{q}^{n-2}+a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n$

באופן זהה לעיל, מתקבל כי $q|a_n{p}^n$, אך כאמור $p$ ו-$q$ זרים זה לזה. לכן בהכרח $q|a_n$.

מ.ש.ל.

דוגמה

נתבונן בפולינום השלם $P(x):=8x^3-8x-15$ ונרצה למצוא את כל השורשים הרציונליים שלו.

אם $p,q\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ הם זוג מספרים זרים כאשר $x_0:=\frac{p}{q}$ הוא שורש של $P(x)$, לפי משפט השורש הרציונלי מתקבל כי:

1. $p|15$, על כן ערכיו האפשריים הם $p=\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15$.
2. $q|8$, על כן ערכיו האפשריים הם $q=\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$.

מתוך כך, מכיוון ש-$x_0=\frac{p}{q}$, הערכים היחידים שהוא יכול לקבל הם $1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,1,5/4,3/2,15/8,5/2,3,15/4,5,15/2,15$ והנגדיים להם.

בסך הכול, מדובר במספר כולל של 32 ערכים שונים ש-$x_0$ יכול לקבל. על-ידי בדיקתם אחד-אחד מתקבל שהערך היחידי שהוא אכן שורש של $P(x)$ הוא $x_0=\frac{3}{2}$. על-ידי שימוש בתשובה זו, ניתן להשתמש בחלוקת פולינומים כדי לפרק את הפולינום $P(x)$:

$P(x)=8x^3-8x-15=(2x-3)(4x^2+6x+5)$

הפולינום הימני הוא פולינום מדרגה 2 שאותו ניתן לפתור באמצעות פתרון משוואה ריבועית. מאחר שהדיסקרמיננטה של פולינום זה היא שלילית, מתקבל ששאר השורשים של $P(x)$ הם בהכרח מרוכבים.

פולינומים במקדמים רציונליים

בעוד שמשפט השורש הרציונלי עוסק בפולינומים במקדמים שלמים, ניתן להשתמש בו כדי למצוא שורשים רציונליים של פולינומים במקדמים רציונליים.

בהינתן פולינום כלשהו $P(x)$ וקבוע $\alpha \ne 0$, $x_0$ הוא שורש של $P(x)$ אם ורק אם הוא שורש של $\alpha P(x)$. על כן, הכפלת פולינום בקבוע לא משנה את השורשים שלו.

בשל כך, אם $P(x)$ הוא פולינום במקדמים רציונליים, ניתן לקחת את המכנה המשותף $\alpha$ של כל מקדמי הפולינום השונים מ-0 ולהכפיל אותו ב-$P(x)$. הפולינום החדש $\alpha P(x)$ הוא פולינום במקדמים שלמים, משמע ניתן להשתמש במשפט השורש הרציונלי כדי למצוא את השורשים הרציונליים שלו, שהם גם השורשים הרציונליים של $P(x)$.

מסקנות

משפט השורש השלם

יהי פולינום $P(x)\in \mathbb{\mathbb{Z}}[x]$ מדרגה $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ כאשר $a_0\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ הוא המקדם החופשי של $P(x)$. כמו כן, יהי $x_0\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ שורש שלם של $P(x)$. אזי בהכרח $x_0|a_0$.

הוכחה

נציג את $x_0$ כ-$\frac{x_0}{1}$. מאחר ש-$x_0$ ו-$1$ הם בהכרח זרים, הם מקיימים את התנאים של משפט השורש הרציונלי. לכן לפי משפט זה מתקיים ש-$x_0|a_0$.

מ.ש.ל.

שורש רציונלי של פולינום מתוקן

יהי פולינום מתוקן $P(x)\in \mathbb{\mathbb{Z}}[x]$ (כלומר, פולינום שהאיבר המוביל שלו הוא $1$). כמו כן, יהי $x_0\in \mathbb{\mathbb{Q}}$ שורש רציונלי של $P(x)$. אזי בהכרח $x_0$ שלם (כלומר, $x_0\in \mathbb{\mathbb{Z}}$).

הוכחה

מסמנים $x_0:=\frac{p}{q}$ כאשר $p,q\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ זוג מספרים זרים. לפי משפט השורש הרציונלי, $q$ מחלק את האיבר המוביל, כלומר $q|1$. לכן בהכרח $q=\pm 1$ ו-$x_0=\frac{p}{q}=\pm p$, כלומר $x_0$ שלם.

מ.ש.ל.

שורש של מספר טבעי

יהי זוג מספרים טבעיים $k,n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ כך שהשורש ה-$n$-י של $k$, $\sqrt[n]{k}$, הוא מספר רציונלי. אזי בהכרח שורש זה הוא מספר טבעי.

הוכחה

מסתכלים על הפולינום במקדמים שלמים $P(x):=x^n-k$. לפי ההנחה, קיים לפולינום זה שורש רציונלי $x_0$ שמקיים $k=x_0^n$. עם זאת, מאחר ש-$P(x)$ הוא פולינום מתוקן, $x_0$ הוא בהכרח מספר שלם, לפי המסקנה לעיל.

אם $x_0$ הוא מספר שלילי, אז בהכרח $n$ זוגי, אחרת $k$ היה שלילי. במקרה זה גם $-x_0$ הוא שורש של הפולינום, והוא שורש חיובי.

על כן, ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות כי $x_0$ חיובי. מספר חיובי ושלם הוא בהכרח מספר טבעי, לכן $x_0$ שורש טבעי של $k$.

מ.ש.ל.

ראו גם

• המשפט היסודי של האלגברה
• שורש של מספר
• משפט ניבן

קישורים חיצוניים

• משפט השורש הרציונלי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט השורש הרציונלי41777949Q180345