משפט התיכון

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה.

כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: $A B^{2} + A C^{2} = 2 A D^{2} + \frac{B C^{2}}{2}$

משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:

m A B^{2} + n A C^{2} = m B D^{2} + n D C^{2} + (m + n) A D^{2}

במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1.

הוכחה

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם $∠ A B C > \frac{π}{2}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 p \cdot B C$

נעביר אגפים, ונקבל: $2 p \cdot B C = A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}$

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} - 2 p \cdot B D$

נציב $B D = \frac{B C}{2}$ , ונקבל: $A D^{2} = A B^{2} + \frac{B C^{2}}{4} - p \cdot B C$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: $2 p \cdot B C = 2 A B^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - 2 A D^{2}$

על פי כלל המעבר, נקבל: $A B^{2} + B C^{2} - A C^{2} = 2 A B^{2} + \frac{B C^{2}}{2} - 2 A D^{2}$

לאחר העברת אגפים, נקבל: $2 A D^{2} + \frac{B C^{2}}{2} = A B^{2} + A C^{2}$

הוכחה גאומטרית

נסמן $A B = a, A C = b, B C = c$ . כמו כן נסמן $A D = x$

אם $a = b$ , המשולש שווה שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, $a \neq b$ , נחשב את שטח המשולש $Δ A B D$ לפי נוסחת הרון:

$S_{Δ A B D} = \sqrt{(\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2}) \cdot (\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - x) \cdot (\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - a) \cdot (\frac{x + a + \frac{c}{2}}{2} - \frac{c}{2})} =$

$\sqrt{(\frac{(a + \frac{c}{2}) + x}{2}) \cdot (\frac{(a + \frac{c}{2}) - x}{2}) \cdot (\frac{x - (a - \frac{c}{2})}{2}) \cdot (\frac{x + (a - \frac{c}{2})}{2})} =$

$\frac{1}{4} \cdot \sqrt{((a + \frac{c}{2})^{2} - x^{2}) \cdot (x^{2} - (a - \frac{c}{2})^{2})} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- x^{4} + x^{2} \cdot (2 a^{2} + \frac{c^{2}}{2}) - (a^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2}}$

נחשב את שטח המשולש $Δ A C D$ ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

$S_{Δ A C D} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- x^{4} + x^{2} \cdot (2 b^{2} + \frac{c^{2}}{2}) - (b^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2}}$

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר $S_{Δ A B D} = S_{Δ A C D}$ . נשווה ביניהם ונמצא את $x$

$\frac{1}{4} \cdot \sqrt{- x^{4} + x^{2} \cdot (2 a^{2} + \frac{c^{2}}{2}) - (a^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2}} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{- x^{4} + x^{2} \cdot (2 b^{2} + \frac{c^{2}}{2}) - (b^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2}}$

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע:

$- x^{4} + x^{2} \cdot (2 a^{2} + \frac{c^{2}}{2}) - (a^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2} = - x^{4} + x^{2} \cdot (2 b^{2} + \frac{c^{2}}{2}) - (b^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2}$

נסדר את המשוואה:

$x^{2} \cdot (2 a^{2} + \frac{c^{2}}{2} - 2 b^{2} - \frac{c^{2}}{2}) = (a^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2} - (b^{2} - \frac{c^{2}}{4})^{2}$

$2 (a^{2} - b^{2}) x^{2} = (a^{2} - \frac{c^{2}}{4} - (b^{2} - \frac{c^{2}}{4})) \cdot (a^{2} - \frac{c^{2}}{4} + (b^{2} - \frac{c^{2}}{4}))$

$2 (a^{2} - b^{2}) x^{2} = (a^{2} - b^{2}) \cdot (a^{2} + b^{2} - \frac{c^{2}}{2})$

נצמצם ב $a^{2} - b^{2}$ (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי $a \neq b$ ) ונקבל את התוצאה: $2 x^{2} = a^{2} + b^{2} - \frac{c^{2}}{2}$

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט התיכון36643184Q877489

משפט התיכון

הוכחה

הוכחה גאומטרית

תפריט ניווט

חיפוש