לדלג לתוכן

משפט השונות השלמה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות העוסק בפירוק של שונות של משתנה מקרי לגורמים של שונות של תוחלת מותנית ותוחלת של שונות מותנית במשתנה אחר.

אם X ו־Y הם משתנים מקריים, והשונות של Y היא סופית, אז משפט השונות השלמה אומר כי:

Var(Y)=E(Var(Y|X))+Var(E(Y|X)).

הוכחה

על פי הגדרת השונות: Var[Y]=E[Y2]E[Y]2

בעזרת משפט התוחלת השלמה:

=E[E[Y2|X]]E[E[Y|X]]2

ניתן לשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:

=E[Var[Y|X]+E[Y|X]2]E[E[Y|X]]2

לפי ליניאריות התוחלת:

=E[Var[Y|X]]+(E[E[Y|X]2]E[E[Y|X]]2)

לבסוף, ניתן לזהות את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית E[Y|X]:

=E[Var[Y|X]]+Var[E[Y|X]]

ראו גם

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

משפט השונות השלמה35067549Q1055879