משפט הרציפות של לוי

משפט הרציפות של לוי, שנקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי פול לוי (Paul Lévy) הוא משפט בתורת ההסתברות. הוא מקשר בין התכנסות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים לבין התכנסות נקודתית של סדרת הפונקציות האופייניות המתאימות לאותה סדרת משתנים מקריים.

המשפט משמש ככלי מהותי להוכחת משפט הגבול המרכזי, מסייע בקביעת התכנסות של משתנים אקראיים ובכך תורם גם להבנה של תהליכים אקראיים.

רקע והיסטוריה

המשפט נוסח על ידי המתמטיקאי הצרפתי פול לוי (Paul Lévy) בשנות ה-30 של המאה ה-20. תחת תנאים מסוימים, המשפט מוכיח שקילות בין ההתכנסויות המתוארות בפתיח, רציפות הפונקציה אליה מתכנסות הפונקציות האופייניות והדיקות רצף המידות של המשתנים המקריים.

המשפט

בהינתן:

• סדרה של משתנים מקריים $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ המקבלים ערכים ממשיים.
• סדרת המידות $\{P_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ התואמות לסדרת המשתנים המקריים.
• סדרת הפונקציות האופייניות $\{{\phi }_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ התואמות לסדרת המשתנים המקריים, שעל פי הגדרתן מקיימות: ${\phi }_n(t)=\mathrm{E}\left[e^{it{X}_n}\right]\mathrm{\forall }t\in \mathbb{ℝ},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{\mathbb{N}}$, כאשר $\mathrm{E}$ הוא אופרטור התוחלת.

אם סדרת הפונקציות האופייניות מתכנסת נקודתית לפונקציה כלשהי $\phi$, כלומר: ${\phi }_n(t)\to \phi (t)\mathrm{\forall }t\in \mathbb{ℝ}$

אז התנאים הבאים שקולים:

• הסדרה $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת בהתפלגות למשתנה מקרי כלשהו $X$. ניתן לסמן זאת כך: $X_n\stackrel{{𝒟}}{\to }X$.
• הפונקציה $\phi (t)$ היא פונקציה אופיינית של משתנה מקרי כלשהו $X$.
• הפונקציה $\phi (t)$ רציפה בנקודה $t=0$.
• סדרת המידות $\{P_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ הדוק במובן של מידות. כלומר לכל $\epsilon >0$, קיימת תת קבוצה קומפקטית $K_{\epsilon }$ של $X$ כך שלכל המידות $\{P_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתקיים: $P_n(X\setminus K_{\epsilon })<\epsilon$.

עיקרי ההוכחה

ישנן מספר דרכים להוכיח את המשפט, נהוג להוכיח שקילות בין מספר תנאים במספר שלבים, דוגמה לעיקרי השלבים במשפט זה תהיה:

1. הוכחת התכנסות נקודתית של פונקציות אופייניות מהנחת התכנסות בהתפלגות של המשתנים המקריים בעזרת פירוק הפונקציות לשני חלקיהן – הממשי והמדומה.
2. הסקת רציפות מתכונות הפונקציות האופייניות.
3. הוכחת תכונת ההדיקות של רצף המידות מהנחת התכנסות הפונקציות האופייניות.
4. הוכחת התכנסות בהתפלגות של רצף משתנים מקריים מהנחת תכונת ההדיקות של רצף המידות התואם בעזרת המשפט של פרוכורוב .

בהוכחה ניתן להיעזר גם במונח התכנסות חלשה השקול להתכנסות בהתפלגות.

שימושים עיקריים

המשפט של לוי נמצא בשימוש רחב בתורת ההסתברות, במיוחד בהבנת התנהגות של סדרות של משתנים אקראיים. הוא נמצא בשימוש בבעיות שונות כדוגמת:

• תיאור התנהגות סכומים של משתנים אקראיים בלתי תלויים.
• מודלים כלכליים וסטטיסטיים, במיוחד במודלים של הילוך מקרי או תהליכים מקריים.
• הסבר של התפלגות גבולית בתהליכים כמו תהליכים פואסוניים או תהליכים מרקוביים.

בנוסף, המשפט נמצא בשימוש בהוכחות של משפטים מתקדמים יותר בתורת ההסתברות.

תוצאות דומות

המשפט של לוי קשור קשר הדוק למשפט הגבול המרכזי, שכן שניהם עוסקים בהתכנסות של סדרות של משתנים אקראיים. עם זאת, בעוד שלמשפט הגבול המרכזי יש דרישות חזקות לגבי המבנה של סדרת המשתנים האקראיים (כגון אי-תלות והתפלגות זהה בחלק מגרסאותיו), המשפט של לוי דורש תנאים רפים יותר. למעשה, המשפט של לוי מאפשר להוכיח את משפט הגבול המרכזי בעזרת השקילות בין התכנסות המשתנים לבין התכנסות הפונקציות האופייניות.

לקריאה נוספת

• Paul Lévy (1937). Théorie de l'addition des variables aléatoires. Gauthier-Villars.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הרציפות של לוי41812747Q1966978